二次関数のグラフ（平方完成・頂点・平行移動・対称移動） ── 問題
基礎
- 二次関数 y = 3(x − 5)² + 1 の頂点の座標を答えなさい。 （ア (5, −1) イ (−5, −1) ウ (5, 1) エ (−5, 1)）
- 次の二次関数を平方完成しなさい。 y = x² − 2x + 3 （ア y = (x − 1)² + 2 イ y = (x − 1)² − 2 ウ y = (x − 1)² + 3 エ y = (x + 1)² + 2）
- 二次関数 y = −x² − 4x − 9 の頂点の座標を答えなさい。 （ア (2, −5) イ (−2, −1) ウ (−2, 5) エ (−2, −5)）
- 放物線 y = x² を x 軸方向に 3、y 軸方向に 2 だけ平行移動した放物線の式はどれですか。 （ア x² − 6x + 7 イ x² + 6x + 7 ウ x² − 6x + 11 エ x² + 6x + 11）
- y = −2(x + 1)² + 3 のグラフについて正しいものはどれですか。 （ア 頂点 (1, −3)、上に凸 イ 頂点 (−1, 3)、上に凸 ウ 頂点 (−1, 3)、下に凸 エ 頂点 (1, 3)、上に凸）
標準
- 放物線 y = −2x² − 2x − 3 を x 軸方向に −1、y 軸方向に 1 だけ平行移動した放物線の式はどれですか。 （ア −2x² − 2x − 2 イ −2x² + 2x − 2 ウ −2x² − 6x − 8 エ −2x² − 6x − 6）
- 放物線 y = −x² + 3x − 3 を x 軸に関して対称移動した放物線の式はどれですか。 （ア x² − 3x + 3 イ −x² − 3x − 3 ウ x² − 3x − 3 エ x² + 3x + 3）
- 頂点が (3, −4) で、点 (−5, −68) を通る放物線の式はどれですか。 （ア −x² − 6x − 13 イ −x² + 6x − 5 ウ −x² + 6x − 13 エ x² − 6x + 5）
- 放物線 y = x² − 2x + 3 を、放物線 y = x² + 4x + 1 に重ねるには、どう平行移動すればよいですか。 （ア x 軸方向に 3、y 軸方向に 5 イ x 軸方向に −3、y 軸方向に 5 ウ x 軸方向に 6、y 軸方向に −2 エ x 軸方向に −3、y 軸方向に −5）
- 3 点 (0, 1)、(1, 0)、(2, 3) を通る放物線の式はどれですか。 （ア y = 2x² − 3x + 1 イ y = 2x² + 3x + 1 ウ y = x² − 2x + 1 エ y = −2x² + 3x + 1）
発展
- 放物線 y = 2x² + 4x + 5 を x 軸方向に a、y 軸方向に b 平行移動すると y = 2x² − 8x + 3 になった。a、b の値はどれですか。 （ア a = 3、b = 8 イ a = −3、b = −8 ウ a = −3、b = 8 エ a = 3、b = −8）
- 放物線 y = ax² + bx + c を x 軸に関して対称移動し、さらに x 軸方向に 1 平行移動したら y = −x² + 4x − 3 になった。もとの放物線はどれですか。 （ア y = x² − 2x イ y = x² + 2x ウ y = x² − 6x + 8 エ y = −x² + 2x）
- x 軸と 2 点 (1, 0)、(3, 0) で交わり、点 (0, 6) を通る放物線の式はどれですか。 （ア y = 6(x − 1)(x − 3) イ y = 2(x + 1)(x + 3) ウ y = 2(x − 1)(x − 3) エ y = (x − 1)(x − 3)）
二次関数のグラフ（平方完成・頂点・平行移動・対称移動） ── 解答
基礎
- ウ (5, 1) y = a(x − p)² + q の頂点は (p, q)。(x − 5) は x − (5) なので p = 5。(5, 1)
- ア y = (x − 1)² + 2 x の係数 −2 の半分の 2 乗 1 を足して引く。y = (x − 1)² + 2
- エ (−2, −5) −(x² + 4x) − 9 とくくり、中を平方完成：−{(x + 2)² − 4} − 9。かっこを外すと −(x + 2)² − 5。頂点 (−2, −5)。
- ウ x² − 6x + 11 頂点が (0, 0) から (3, 2) へ。y = (x − 3)² + 2。展開して x² − 6x + 11。
- イ 頂点 (−1, 3)、上に凸 (x + 1) = (x − (−1)) なので頂点の x 座標は −1。a = −2 < 0 で上に凸。
標準
- エ −2x² − 6x − 6 x → x − (−1)、y → y − (1) におきかえる。y − (1) = −2(x − (−1))² − 2(x − (−1)) − 3。整理して −2x² − 6x − 6。
- ア x² − 3x + 3 x 軸に関する対称移動は y → −y（全部の符号が変わる）。x² − 3x + 3
- ウ −x² + 6x − 13 y = a(x − 3)² − 4 とおき (−5, −68) を代入：−68 = 64a − 4 → a = −1。展開して −x² + 6x − 13。
- エ x 軸方向に −3、y 軸方向に −5 頂点 (1, 2) → (−2, −3)。差は x 方向に −3、y 方向に −5。
- ア y = 2x² − 3x + 1 y = ax² + bx + c に代入：c = 1、a + b + 1 = 0、4a + 2b + 1 = 3 → a = 2、b = −3。
発展
- エ a = 3、b = −8 頂点：2(x + 1)² + 3 → (−1, 3)、2(x − 2)² − 5 → (2, −5)。a = 2 − (−1) = 3、b = −5 − 3 = −8。
- ア y = x² − 2x 逆にたどる：y = −x² + 4x − 3 を x 軸方向に −1 移動 → y = −(x + 1)² + 4(x + 1) − 3 = −x² + 2x。x 軸対称 → y = x² − 2x。
- ウ y = 2(x − 1)(x − 3) y = a(x − 1)(x − 3) に (0, 6)：6 = 3a → a = 2。
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