二次関数のグラフ（平方完成・頂点・平行移動・対称移動） ── 問題
基礎
- 二次関数 y = 3(x − 5)² + 1 の頂点の座標を答えなさい。 （ア (5, −1) イ (−5, −1) ウ (5, 1) エ (−5, 1)）
- 次の二次関数を平方完成しなさい。 y = x² − 10x + 31 （ア y = (x − 5)² + 31 イ y = (x − 5)² − 6 ウ y = (x + 5)² + 6 エ y = (x − 5)² + 6）
- 二次関数 y = 2x² − 16x + 28 の頂点の座標を答えなさい。 （ア (−4, −4) イ (4, −36) ウ (4, −8) エ (4, −4)）
- 放物線 y = x² を x 軸方向に −3、y 軸方向に 6 だけ平行移動した放物線の式はどれですか。 （ア x² − 6x + 15 イ x² + 6x + 15 ウ x² − 6x + 3 エ x² + 6x + 3）
- y = −2(x + 1)² + 3 のグラフについて正しいものはどれですか。 （ア 頂点 (1, −3)、上に凸 イ 頂点 (−1, 3)、上に凸 ウ 頂点 (−1, 3)、下に凸 エ 頂点 (1, 3)、上に凸）
標準
- 放物線 y = −2x² − x + 4 を x 軸方向に 1、y 軸方向に −4 だけ平行移動した放物線の式はどれですか。 （ア −2x² − x イ −2x² + 3x + 7 ウ −2x² − 5x − 3 エ −2x² + 3x − 1）
- 放物線 y = −x² − x + 4 を y 軸に関して対称移動した放物線の式はどれですか。 （ア x² − x − 4 イ x² + x − 4 ウ −x² − x − 4 エ −x² + x + 4）
- 頂点が (3, 4) で、点 (−1, 20) を通る放物線の式はどれですか。 （ア x² − 6x + 5 イ x² − 6x + 13 ウ −x² + 6x − 5 エ x² + 6x + 13）
- 放物線 y = x² − 2x + 3 を、放物線 y = x² + 4x + 1 に重ねるには、どう平行移動すればよいですか。 （ア x 軸方向に 3、y 軸方向に 5 イ x 軸方向に −3、y 軸方向に 5 ウ x 軸方向に 6、y 軸方向に −2 エ x 軸方向に −3、y 軸方向に −5）
- 3 点 (0, 1)、(1, 0)、(2, 3) を通る放物線の式はどれですか。 （ア y = 2x² − 3x + 1 イ y = 2x² + 3x + 1 ウ y = x² − 2x + 1 エ y = −2x² + 3x + 1）
- 図の放物線は、頂点が点 (2, 2) で、y 軸と点 (0, −2) で交わる二次関数のグラフです。この関数を y = a(x − p)² + q の形で表しなさい。 （ア y = −(x − 2)² − 2 イ y = −(x + 2)² + 2 ウ y = −(x − 2)² + 2 エ y = (x − 2)² + 2）
- 放物線 y = x² + 6x + c の頂点が直線 y = −2x + 2 上にあるとき、定数 c の値を求めなさい。
- y = ax² + bx + c のグラフは上に凸で、頂点は第 1 象限にあり、y 軸と負の部分で交わっている。 Aさん「軸 x = −b/(2a) が正だから、−b が正、つまり b は負だね。」 Bさん「分母の 2a の符号も見ないとだめだよ。」 a、b、c の符号の組み合わせとして正しいものはどれですか。 （ア a < 0、b > 0、c < 0 イ a < 0、b < 0、c < 0 ウ a > 0、b > 0、c < 0 エ a < 0、b > 0、c > 0）
発展
- 放物線 y = 2x² + 4x + 5 を x 軸方向に a、y 軸方向に b 平行移動すると y = 2x² − 8x + 3 になった。a、b の値はどれですか。 （ア a = 3、b = 8 イ a = −3、b = −8 ウ a = −3、b = 8 エ a = 3、b = −8）
- 放物線 y = ax² + bx + c を x 軸に関して対称移動し、さらに x 軸方向に 1 平行移動したら y = −x² + 4x − 3 になった。もとの放物線はどれですか。 （ア y = x² − 2x イ y = x² + 2x ウ y = x² − 6x + 8 エ y = −x² + 2x）
- x 軸と 2 点 (1, 0)、(3, 0) で交わり、点 (0, 6) を通る放物線の式はどれですか。 （ア y = 6(x − 1)(x − 3) イ y = 2(x + 1)(x + 3) ウ y = 2(x − 1)(x − 3) エ y = (x − 1)(x − 3)）
- 放物線 y = x² − 6x − 3 を、点 (−3, 3) に関して対称移動した放物線の式はどれですか。 （ア y = −x² − 18x − 99 イ y = x² + 18x + 99 ウ y = −x² + 18x − 63 エ y = −x² − 18x − 63）
- 地面に立つ放物線の形のアーチがある。地面との 2 つの交点の間は 20 m、いちばん高いところは地面から 5 m。 アーチの中央から水平に 6 m 離れた位置で、アーチの高さは何 m ですか。 （ア 1.8 m イ 2.6 m ウ 3.2 m エ 3.5 m）
二次関数のグラフ（平方完成・頂点・平行移動・対称移動） ── 解答
基礎
- ウ (5, 1) y = a(x − p)² + q の頂点は (p, q)。(x − 5) は x − (5) なので p = 5。(5, 1)
- エ y = (x − 5)² + 6 x の係数 −10 の半分の 2 乗 25 を足して引く。y = (x − 5)² + 6
- エ (4, −4) 2(x² − 8x) + 28 とくくり、中を平方完成：2{(x − 4)² − 16} + 28。かっこを外すと 2(x − 4)² − 4。頂点 (4, −4)。
- イ x² + 6x + 15 頂点が (0, 0) から (−3, 6) へ。y = (x + 3)² + 6。展開して x² + 6x + 15。
- イ 頂点 (−1, 3)、上に凸 (x + 1) = (x − (−1)) なので頂点の x 座標は −1。a = −2 < 0 で上に凸。
標準
- エ −2x² + 3x − 1 x → x − (1)、y → y − (−4) におきかえる。y − (−4) = −2(x − (1))² − 1(x − (1)) + 4。整理して −2x² + 3x − 1。
- エ −x² + x + 4 y 軸に関する対称移動は x → −x（x の 1 次の項だけ符号が変わる）。−x² + x + 4
- イ x² − 6x + 13 y = a(x − 3)² + 4 とおき (−1, 20) を代入：20 = 16a + 4 → a = 1。展開して x² − 6x + 13。
- エ x 軸方向に −3、y 軸方向に −5 頂点 (1, 2) → (−2, −3)。差は x 方向に −3、y 方向に −5。
- ア y = 2x² − 3x + 1 y = ax² + bx + c に代入：c = 1、a + b + 1 = 0、4a + 2b + 1 = 3 → a = 2、b = −3。
- ウ y = −(x − 2)² + 2 頂点が (2, 2) なので y = a(x − 2)² + 2。(0, −2) を通るから −2 = a·(2)² + 2、a = −1。y = −(x − 2)² + 2。
- 17 y = (x + 3)² + c − 9。頂点 (−3, c − 9) を直線の式に代入して c − 9 = −2 × (−3) + 2。c = 17。
- ア a < 0、b > 0、c < 0 上に凸で a < 0。y 軸との交点 (0, c) が負で c < 0。−b/(2a) > 0 で 2a < 0 なので −b < 0、つまり b > 0。A さんは分母の符号を見落としている。
発展
- エ a = 3、b = −8 頂点：2(x + 1)² + 3 → (−1, 3)、2(x − 2)² − 5 → (2, −5)。a = 2 − (−1) = 3、b = −5 − 3 = −8。
- ア y = x² − 2x 逆にたどる：y = −x² + 4x − 3 を x 軸方向に −1 移動 → y = −(x + 1)² + 4(x + 1) − 3 = −x² + 2x。x 軸対称 → y = x² − 2x。
- ウ y = 2(x − 1)(x − 3) y = a(x − 1)(x − 3) に (0, 6)：6 = 3a → a = 2。
- エ y = −x² − 18x − 63 頂点 (3, −12) は点 (−3, 3) に関して (−9, 18) に移り、グラフは上に凸に変わる。y = −(x + 9)² + 18 を展開して −x² − 18x − 63。
- ウ 3.2 m 中央を原点に y = ax² + 5 とおくと、x = 10 で y = 0 より a = −1/20。x = 6 で 5 − 36/20 = 3.2。直線的に下がると考えると 3.5 になる。
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