二次不等式・グラフと x 軸の位置関係 ── 問題
基礎
- 次の二次不等式を解きなさい。 x² − 16 ≧ 0 （ア x ≦ −4 または x ≧ 4 イ −4 ≦ x ≦ 4 ウ x ≧ 4）
- 次の二次不等式を解きなさい。 −x² + 3x + 10 < 0 （ア −2 < x < 5 イ x < −2 ウ x < −5 または x > 2 エ x < −2 または x > 5）
- 次の二次不等式を解きなさい。 x² − 2x + 1 ≧ 0 （ア x = 1 イ x ≠ 1 のすべての実数 ウ すべての実数 エ x ≧ 1）
- 次の二次不等式を解きなさい。 x² + 2x + 2 ≧ 0 （ア x = −1 イ x ≧ −1 ウ 解なし エ すべての実数）
- 二次不等式 x² − 5x + 6 > 0 の解はどれですか。 （ア x < 2 イ x < 2 かつ x > 3 ウ 2 < x < 3 エ x < 2 または x > 3）
標準
- 次の二次不等式を解きなさい。 x² + 6x − 3 < 0 （ア 3 − 2√3 < x < 3 + 2√3 イ x < −3 − 2√3 または x > 2√3 − 3 ウ −3 − 2√3 < x < 2√3 − 3 エ −3 − √6 < x < √6 − 3）
- 次の連立不等式を解きなさい。 x² − x − 2 < 0 かつ x ≧ 0 （ア x ≧ 0 イ −1 < x < 2 ウ 0 ≦ x < 2 エ −1 < x ≦ 0）
- すべての実数 x について x² − 2x + k > 0 が成り立つような定数 k の範囲を求めなさい。 （ア k > 1 イ k > −2 ウ k ≧ 1 エ k < 1）
- すべての実数 x について x² + 2kx + k + 2 > 0 が成り立つ k の範囲はどれですか。 （ア k > 2 イ −2 < k < 1 ウ −1 < k < 2 エ k < −1 または k > 2）
- 連立不等式 x² − 4 ≦ 0 かつ x² − 3x > 0 の解はどれですか。 （ア x > 3 イ −2 ≦ x < 0 ウ −2 ≦ x ≦ 2 エ 0 < x ≦ 2）
- 真上に投げ上げたボールの t 秒後の高さが h = −5t² + 30t（m）で表されるとき、高さが 40 m 以上である時間は何秒間ですか。
- 二次不等式 x² − 8x + 8 < 0 を満たす整数 x は何個ありますか。
- ある商品の 1 日の利益 y（千円）は、価格 x（百円）を使って y = −x² + 14x − 40 と表される。利益が 8 千円以上になる x の範囲として正しいものはどれですか。 （ア 6 ≦ x ≦ 8 イ −8 ≦ x ≦ −6 ウ 4 ≦ x ≦ 10 エ x ≦ 6 または x ≧ 8）
発展
- 二次方程式 x² − 2ax + a + 2 = 0 の 2 つの解がともに正であるような a の範囲はどれですか。 （ア a > 0 イ a ≧ 2 ウ a ≦ −1 または a ≧ 2 エ −2 < a ≦ −1）
- 不等式 ax² + 4x + a < 0 がすべての実数 x で成り立つ a の範囲はどれですか。 （ア a < 2 イ a < −2 ウ a > 2 エ −2 < a < 2）
- 二次不等式 x² + ax + b < 0 の解が −1 < x < 3 であるとき、a、b の値はどれですか。 （ア a = 2、b = −3 イ a = 2、b = 3 ウ a = −2、b = −3 エ a = −2、b = 3）
- 二次方程式 x² + (a − 2)x + a = 0 が、1 より大きい解と 1 より小さい解を 1 つずつもつような a の範囲を求めたい。 Aさん「解の公式で解いて 1 と比べるのは大変そう。」 Bさん「f(x) = x² + (a − 2)x + a のグラフで考えると、1 つの値の符号だけで決まるよ。」 求める a の範囲として正しいものはどれですか。 （ア a < 4 − 2√3 または a > 4 + 2√3 イ a < 1/2 ウ a > 1/2 エ 0 < a < 1/2）
- x についての不等式 x² − (a + 2)x + 2a < 0 を満たす整数 x がちょうど 2 個となる a の範囲を求めたい。 Aさん「左辺は (x − 2)(x − a) と因数分解できるね。」 Bさん「a が 2 より大きいか小さいかで、解の区間が変わるよ。」 求める a の範囲として正しいものはどれですか。 （ア −1 < a < 0 または 4 < a < 5 イ −1 ≦ a ≦ 0 または 4 ≦ a ≦ 5 ウ 4 < a ≦ 5 エ −1 ≦ a < 0 または 4 < a ≦ 5）
二次不等式・グラフと x 軸の位置関係 ── 解答
基礎
- ア x ≦ −4 または x ≧ 4 (x − 4)(x + 4) = 0 より x 軸との交点は x = −4、4。下に凸なので「≧ 0」は外側。x ≦ −4 または x ≧ 4
- エ x < −2 または x > 5 両辺に −1 をかけて (x − 5)(x + 2) > 0（向きが変わる）。交点 x = −2、5。外側。x < −2 または x > 5
- ウ すべての実数 左辺は (x − 1)²。グラフは x = 1 で x 軸に接し、他では正。すべての実数
- エ すべての実数 平方完成すると (x + 1)² + 1。常に正（D = −4 < 0）なので、> 0 はすべての実数、< 0 は解なし。すべての実数
- エ x < 2 または x > 3 交点 x = 2、3。下に凸で > 0 は外側。
標準
- ウ −3 − 2√3 < x < 2√3 − 3 x² + 6x − 3 = 0 を b′ の公式で解くと x = −3 ± √12。< 0 は内側。−3 − 2√3 < x < 2√3 − 3
- ウ 0 ≦ x < 2 1 つ目：−1 < x < 2。2 つ目：x ≧ 0。数直線で共通範囲をとって 0 ≦ x < 2。
- ア k > 1 下に凸なので、常に正 ⇔ D < 0。D/4 = 1 − k < 0。k > 1
- ウ −1 < k < 2 D/4 = k² − k − 2 < 0 → (k − 2)(k + 1) < 0 → −1 < k < 2。
- イ −2 ≦ x < 0 ① −2 ≦ x ≦ 2、② x < 0 または x > 3。共通範囲は −2 ≦ x < 0。
- 2 −5t² + 30t ≧ 40 を整理すると t² − 6t + 8 ≦ 0、(t − 2)(t − 4) ≦ 0 より 2 ≦ t ≦ 4。2 秒間。
- 5 x² − 8x + 8 = 0 の解は x = (8 ± √32)/2。おおよそ 1.2 と 6.8 の間の整数を数えて 5 個。
- ア 6 ≦ x ≦ 8 −x² + 14x − 40 ≧ 8 → x² − 14x + 48 ≦ 0 → (x − 6)(x − 8) ≦ 0。4 ≦ x ≦ 10 は「利益が 0 以上」の範囲。
発展
- イ a ≧ 2 D/4 = a² − a − 2 ≧ 0（a ≦ −1 または a ≧ 2）、軸 a > 0、f(0) = a + 2 > 0。共通は a ≧ 2。
- イ a < −2 上に凸で D < 0：a < 0 かつ D/4 = 4 − a² < 0（a < −2 または a > 2）。共通は a < −2。（a = 0 なら 4x < 0 は常に成り立たない）
- ウ a = −2、b = −3 解が −1 < x < 3 → (x + 1)(x − 3) < 0 → x² − 2x − 3 < 0。
- イ a < 1/2 下に凸のグラフが x = 1 をはさんで x 軸と交わるのは f(1) < 0 のとき。f(1) = 2a − 1 < 0 より a < 1/2。判別式の条件は f(1) < 0 なら自動的に満たされる。
- エ −1 ≦ a < 0 または 4 < a ≦ 5 a > 2 なら 2 < x < a で、整数が 3 と 4 だけになるのは 4 < a ≦ 5。a < 2 なら a < x < 2 で、整数が 1 と 0 だけになるのは −1 ≦ a < 0。端の a = 5・a = −1 は解に入るか代入して確かめる。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h1-09/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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