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小テスト ／ h2-01

二項定理・整式の割り算・分数式

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二項定理・整式の割り算・分数式 ── 問題

基礎

  1. (x − 1)^5 の展開式における x の係数を求めなさい。
  2. (x − 2y)^5 の展開式における x^4y の係数を求めなさい。
  3. 整式 3x³ + 3x² − 5x を x − 3 で割ったときの商と余りを求めなさい。　（ア 商 3x² + 3x − 5、余り 3　イ 商 3x² + 12x + 31、余り 93　ウ 商 3x² + 12x + 31、余り 0　エ 商 3x² − 6x + 13、余り −39）
  4. 次の分数式を約分しなさい。 (x² + 7x + 10)/(x² − 25)　（ア (x − 5)/(x + 2)　イ (x + 2)/(x − 5)　ウ (x + 5)/(x − 5)　エ (x + 2)/(x + 5)）
  5. (a + b)⁵ の展開式の係数を順に並べたものはどれですか。　（ア 1, 10, 5, 5, 10, 1　イ 1, 5, 10, 10, 5, 1　ウ 1, 4, 6, 4, 1　エ 1, 5, 5, 1）

標準

  1. (x² + 1/x)^9 の展開式における定数項を求めなさい。
  2. 整式 A を x² + 1 で割ると、商が x + 3、余りが −x であった。A を求めなさい。　（ア x³ + 3x² + 2x + 3　イ −3x + 1　ウ x³ + 3x² + 3　エ x³ + 3x² + x + 3）
  3. 次の計算をしなさい。 1/(x + 3) + 1/(x − 2)　（ア (2x − 1)/{(x + 3)(x − 2)}　イ (2x + 1)/{(x + 3)(x − 2)}　ウ 2/(2x + 1)　エ 2/{(x + 3)(x − 2)}）
  4. (2x − 3y)⁵ の x²y³ の係数はどれですか。　（ア −720　イ 1080　ウ −270　エ −1080）
  5. a(x − 1)² + b(x − 1) + c = 2x² + x + 1 が x の恒等式であるとき、(a, b, c) はどれですか。　（ア (2, 1, 1)　イ (1, 5, 4)　ウ (2, 5, 4)　エ (2, −3, 4)）

発展

  1. ₙC₀ + ₙC₁ + ₙC₂ + … + ₙCₙ の値はどれですか。　（ア 2n　イ 2ⁿ　ウ n²　エ n!）
  2. (1 + x)ⁿ の展開式で、x² の係数が 45 であるとき n の値はどれですか。　（ア 45　イ 10　ウ 15　エ 9）
  3. 1/{x(x + 1)} を部分分数に分解したものはどれですか。　（ア 1/x + 1/(x + 1)　イ 1/x − 1/(x + 1)　ウ 1/(x + 1) − 1/x　エ 1/(2x) − 1/(2(x + 1))）

二項定理・整式の割り算・分数式 ── 解答

基礎

  1. 5　一般項 5C_r x^(5−r) (−1)^r。x ⇔ r = 4。5C4 × (−1)^4 = 5 × 1 = 5。
  2. −10　一般項 5C_r (x)^(5−r) (−2y)^r。x^4y ⇔ r = 1。5C1 × 1^4 × (−2)^1 = 5 × 1 × (−2) = −10。
  3. イ　商 3x² + 12x + 31、余り 93　筆算で割る（抜けている定数項は 0 として）。A = BQ + R で検算する。商 3x² + 12x + 31、余り 93
  4. イ　(x + 2)/(x − 5)　分子 = (x + 5)(x + 2)、分母 = (x + 5)(x − 5)。共通因数 (x + 5) を消して (x + 2)/(x − 5)。
  5. イ　1, 5, 10, 10, 5, 1　₅C₀〜₅C₅。パスカルの三角形の 6 行目。

標準

  1. 84　一般項 9C_r (x²)^(9−r) (1/x)^r = 9C_r 1^r x^(18−3r)。定数項 ⇔ 18 − 3r = 0 ⇔ r = 6。9C6 × 1^6 = 84 × 1 = 84。
  2. ウ　x³ + 3x² + 3　A = BQ + R = (x² + 1)(x + 3) + (−x)。展開して x³ + 3x² + 3。
  3. イ　(2x + 1)/{(x + 3)(x − 2)}　通分：{(x − 2) + (x + 3)}/{(x + 3)(x − 2)}。分子は 2x + 1。(2x + 1)/{(x + 3)(x − 2)}
  4. エ　−1080　₅C₃ × 2² × (−3)³ = 10 × 4 × (−27) = −1080。
  5. ウ　(2, 5, 4)　x = 1 で c = 4。係数比較で a = 2、−2a + b = 1 → b = 5。

発展

  1. イ　2ⁿ　(1 + 1)ⁿ に二項定理を使う。
  2. イ　10　ₙC₂ = n(n − 1)/2 = 45 → n(n − 1) = 90 → n = 10。
  3. イ　1/x − 1/(x + 1)　1/x − 1/(x + 1) = {(x + 1) − x}/{x(x + 1)} = 1/{x(x + 1)}。

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