二項定理・整式の割り算・分数式 ── 問題
基礎
- (x − 4)^7 の展開式における x^2 の係数を求めなさい。
- (2x − y)^4 の展開式における xy^3 の係数を求めなさい。
- 整式 x³ + 3x² を x + 3 で割ったときの商と余りを求めなさい。 （ア 商 x² + 6x + 18、余り 54 イ 商 x² + 3x、余り −3 ウ 商 x²、余り 0）
- 次の分数式を約分しなさい。 (x² − x − 2)/(x² − 1) （ア (x − 2)/(x − 1) イ (x − 2)/(x + 1) ウ (x + 1)/(x − 1) エ (x − 1)/(x − 2)）
- (a + b)⁵ の展開式の係数を順に並べたものはどれですか。 （ア 1, 10, 5, 5, 10, 1 イ 1, 5, 10, 10, 5, 1 ウ 1, 4, 6, 4, 1 エ 1, 5, 5, 1）
標準
- (x² + 3/x)^6 の展開式における定数項を求めなさい。
- 整式 A を x² + 1 で割ると、商が x + 3、余りが −4x であった。A を求めなさい。 （ア x³ + 3x² − 3x + 3 イ x³ + 3x² + 5x + 3 ウ −3x² − 12x + 1 エ x³ + 3x² + x + 3）
- 次の計算をしなさい。 1/(x + 4) + 1/(x − 4) （ア 2/{(x + 4)(x − 4)} イ 2/(2x) ウ (2x)/{(x + 4)(x − 4)} エ (x)/{(x + 4)(x − 4)}）
- (2x − 3y)⁵ の x²y³ の係数はどれですか。 （ア −720 イ 1080 ウ −270 エ −1080）
- a(x − 1)² + b(x − 1) + c = 2x² + x + 1 が x の恒等式であるとき、(a, b, c) はどれですか。 （ア (2, 1, 1) イ (1, 5, 4) ウ (2, 5, 4) エ (2, −3, 4)）
- 二項定理を使って、91^25 を 100 で割った余りを求めなさい。
- (x + y + z)^6 の展開式における x^2yz^3 の項の係数を求めなさい。
- 太郎さんと花子さんが 1.01¹⁰ の値を見積もっている。 太郎：(1 + 0.01)¹⁰ と見て二項定理で展開すると、4 項目からは 0.01³ 以上がかかるから小さいね。 花子：それなら 3 項目まで足せば近い値になるよ。 3 項目までの和はどれですか。 （ア 1.1450 イ 1.1 ウ 1.1045 エ 1.1090）
- a(x − 1)² + b(x − 1) + c = x² + 3x が x についての恒等式となるような a、b、c を求めたい。 太郎：x = 1、0、2 を代入すれば 3 つの式ができるから、a、b、c が決まるね。 花子：代入で出したのは「恒等式ならこの値になる」という条件だから、最後に逆を確かめよう。 求めた (a, b, c) はどれですか。 （ア (5, 1, 4) イ (1, −5, 4) ウ (1, 3, 0) エ (1, 5, 4)）
- 家から図書館まで、行きは時速 4 km、帰りは同じ道を時速 6 km で歩いた。片道の道のりを x km として往復の平均の速さを分数式で表し、整理するとどれになりますか。 （ア 時速 5 km イ 時速 4.8 km ウ 時速 5.2 km エ 時速 4.5 km）
発展
- ₙC₀ + ₙC₁ + ₙC₂ + … + ₙCₙ の値はどれですか。 （ア 2n イ 2ⁿ ウ n² エ n!）
- (1 + x)ⁿ の展開式で、x² の係数が 45 であるとき n の値はどれですか。 （ア 45 イ 10 ウ 15 エ 9）
- 1/{x(x + 1)} を部分分数に分解したものはどれですか。 （ア 1/x + 1/(x + 1) イ 1/x − 1/(x + 1) ウ 1/(x + 1) − 1/x エ 1/(2x) − 1/(2(x + 1))）
- 整式 P(x) を x² + 1 で割ると、商が Q(x)、余りが x + 2 である。さらに Q(x) を x − 1 で割ると余りが 3 である。P(x) を (x² + 1)(x − 1) で割った余りはどれですか。 （ア x + 5 イ 3x² + x + 2 ウ 3x² + 4x + 2 エ 3x² + x + 5）
二項定理・整式の割り算・分数式 ── 解答
基礎
- −21504 一般項 7C_r x^(7−r) (−4)^r。x^2 ⇔ r = 5。7C5 × (−4)^5 = 21 × −1024 = −21504。
- −8 一般項 4C_r (2x)^(4−r) (−y)^r。xy^3 ⇔ r = 3。4C3 × 2^1 × (−1)^3 = 4 × 2 × (−1) = −8。
- ウ 商 x²、余り 0 筆算で割る（抜けている定数項は 0 として）。A = BQ + R で検算する。商 x²、余り 0
- ア (x − 2)/(x − 1) 分子 = (x + 1)(x − 2)、分母 = (x + 1)(x − 1)。共通因数 (x + 1) を消して (x − 2)/(x − 1)。
- イ 1, 5, 10, 10, 5, 1 ₅C₀〜₅C₅。パスカルの三角形の 6 行目。
標準
- 1215 一般項 6C_r (x²)^(6−r) (3/x)^r = 6C_r 3^r x^(12−3r)。定数項 ⇔ 12 − 3r = 0 ⇔ r = 4。6C4 × 3^4 = 15 × 81 = 1215。
- ア x³ + 3x² − 3x + 3 A = BQ + R = (x² + 1)(x + 3) + (−4x)。展開して x³ + 3x² − 3x + 3。
- ウ (2x)/{(x + 4)(x − 4)} 通分：{(x − 4) + (x + 4)}/{(x + 4)(x − 4)}。分子は 2x。(2x)/{(x + 4)(x − 4)}
- エ −1080 ₅C₃ × 2² × (−3)³ = 10 × 4 × (−27) = −1080。
- ウ (2, 5, 4) x = 1 で c = 4。係数比較で a = 2、−2a + b = 1 → b = 5。
- 51 91^25 = (90 + 1)^25 を展開すると 1 + 25·90 + （90² を因数にもつ項の和）。90² は 100 の倍数なので、1 + 2250 = 2251 を 100 で割った余りが答え。51
- 60 ((x + y) + z)^6 と見て二項定理を 2 回使う。係数は 6!/(2!·1!·3!) = 60。
- ウ 1.1045 (1 + 0.01)¹⁰ = 1 + ₁₀C₁·0.01 + ₁₀C₂·0.01² + …。₁₀C₂ = 45 なので 1 + 0.1 + 0.0045 = 1.1045（実際の値は 1.10462…）。
- エ (1, 5, 4) x = 1 で c = 4、x = 0 で a − b + c = 0、x = 2 で a + b + c = 10。これより a = 1、b = 5。逆にこの値で左辺を展開すると x² + 3x になり、恒等式であることが確かめられる。
- イ 時速 4.8 km 平均の速さ = 往復の道のり ÷ かかった時間 = 2x/(x/4 + x/6) = 2x/(5x/12) = 24/5。x が約分で消え、速さの平均 (4 + 6)/2 = 5 とは一致しない。
発展
- イ 2ⁿ (1 + 1)ⁿ に二項定理を使う。
- イ 10 ₙC₂ = n(n − 1)/2 = 45 → n(n − 1) = 90 → n = 10。
- イ 1/x − 1/(x + 1) 1/x − 1/(x + 1) = {(x + 1) − x}/{x(x + 1)} = 1/{x(x + 1)}。
- エ 3x² + x + 5 Q(x) = (x − 1)S(x) + 3 を代入すると P(x) = (x² + 1)(x − 1)S(x) + 3(x² + 1) + x + 2。3x² + x + 5 は 2 次以下なので、これが余り。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-01/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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