一般角・弧度法・三角関数のグラフ ── 問題
基礎
- 210° を弧度法で表しなさい。 （ア 7π/3 イ 21π/10 ウ 7π/12 エ 7π/6）
- cos π/6 の値を求めなさい。 （ア −1/2 イ √2/2 ウ −√2/2 エ √3/2）
- 関数 y = cos 4θ の周期を求めなさい。 （ア π/2 イ 8π ウ 2π エ π/4）
- 0 ≦ θ < 2π のとき、方程式 cos θ = √2/2 を解きなさい。 （ア θ = π/4、7π/4 イ θ = π/3、5π/3 ウ θ = π/4、5π/4 エ θ = 2π/3、4π/3）
- 半径 6、中心角 π/3 の扇形の弧の長さと面積の組み合わせはどれですか。 （ア 弧 2π、面積 6π イ 弧 π、面積 3π ウ 弧 2π、面積 12π エ 弧 6π、面積 18π）
標準
- 次の式を θ の三角関数で表しなさい。 sin(θ + π/2) （ア tan θ イ −cos θ ウ −sin θ エ cos θ）
- 0 ≦ θ < 2π のとき、不等式 sin θ > √3/2 を解きなさい。 （ア π/3 < θ < 5π/3 イ π < θ < 2π ウ π/6 ≦ θ ≦ 5π/6 エ π/3 < θ < 2π/3）
- 関数 y = 2 sin(3θ − π/3) の振幅・周期と、y = 2 sin 3θ のグラフをどれだけ平行移動したものかを答えなさい。 （ア 振幅 2、周期 2π/3、θ 軸方向に π/9 平行移動 イ 振幅 2、周期 2π/3、θ 軸方向に π/3 平行移動 ウ 振幅 2、周期 2π/3、θ 軸方向に −π/9 平行移動 エ 振幅 2、周期 6π、θ 軸方向に π/9 平行移動）
- 0 ≦ θ < 2π のとき、sin 2θ = 1/2 の解の個数はどれですか。 （ア 1 個 イ 2 個 ウ 4 個 エ 8 個）
- 0 ≦ θ < 2π のとき、2cos²θ − cos θ − 1 = 0 の解はどれですか。 （ア θ = 0、π イ θ = 0、2π/3、4π/3 ウ θ = π/3、5π/3 エ θ = 2π/3、4π/3）
- 半径 40 m の観覧車が一定の速さで回り、12 分で 1 周する。いちばん低い位置のゴンドラの床は地面から 2 m の高さにある。いちばん低い位置で乗ったゴンドラの、9 分後の床の高さを求めなさい（単位 m）。
- 0 ≦ θ < 2π のとき、方程式 sin 2θ = −1 の解の個数を求めなさい。
- 太郎：y = sin θ のグラフを θ 軸方向に平行移動すると、y = cos θ のグラフに重なるね。 花子：cos θ = sin(θ + π/2) を使うと、移動の向きと量が分かるよ。 移動量 a（−π < a ≦ π）として正しいものはどれですか。 （ア a = π（右へ π） イ a = −π/4（左へ π/4） ウ a = π/2（右へ π/2） エ a = −π/2（左へ π/2））
- 時計の長針の長さは 12 cm、短針の長さは 8 cm である。午後 3 時から 3 時 20 分までに、長針の先端が動く道のりと短針の先端が動く道のりの差はどれですか。 （ア 64π/9 cm イ 68π/9 cm ウ 76π/9 cm エ 8π cm）
発展
- 0 ≦ θ < 2π のとき、2sin²θ + 3cos θ − 3 = 0 の解はどれですか。 （ア θ = 0 イ θ = 0、π ウ θ = π/3、5π/3 エ θ = 0、π/3、5π/3）
- 関数 y = sin θ + cos θ の値域はどれですか（ヒント：(sin θ + cos θ)² を考える）。 （ア −1 ≦ y ≦ 1 イ −√2 ≦ y ≦ √2 ウ 0 ≦ y ≦ 2 エ −2 ≦ y ≦ 2）
- y = 2 sin(2θ − π/3) のグラフとして正しい説明はどれですか。 （ア 振幅 2、周期 2π、θ 軸方向に π/3 平行移動 イ 振幅 1、周期 π、θ 軸方向に π/6 平行移動 ウ 振幅 2、周期 π、θ 軸方向に −π/3 平行移動 エ 振幅 2、周期 π、θ 軸方向に π/6 平行移動）
- 関数 y = a sin(bθ + c) + d（a > 0、b > 0、−π < c ≦ π）のグラフは、最大値 5、最小値 −1、周期 π で、θ = π/3 のとき最大値をとる。この関数はどれですか。 （ア y = 2sin(2θ − π/6) + 3 イ y = 3sin(2θ + π/6) + 2 ウ y = 3sin(θ/2 − π/6) + 2 エ y = 3sin(2θ − π/6) + 2）
- 0 ≦ θ < 2π のとき、不等式 sin θ > cos θ を解きたい。 太郎：両辺を cos θ で割ると tan θ > 1 になるね。 花子：cos θ が負のところでは不等号の向きが変わるし、cos θ = 0 のところもあるから、その方法は注意が要るよ。 正しい解はどれですか。 （ア 0 ≦ θ < π/4、5π/4 < θ < 2π イ π/4 < θ < π/2 ウ π/4 < θ < π/2、5π/4 < θ < 3π/2 エ π/4 < θ < 5π/4）
一般角・弧度法・三角関数のグラフ ── 解答
基礎
- エ 7π/6 180° = π なので 210° = 210π/180 = 7π/6。
- エ √3/2 π/6 は第 1 象限。基準の角は π/6。象限で符号を決めて √3/2。
- ア π/2 cos の周期は 2π。θ の係数が 4 なので周期は 2π ÷ 4 = π/2。
- ア θ = π/4、7π/4 単位円で、sin は y 座標、cos は x 座標、tan は傾きが √2/2 になる点を探す。θ = π/4、7π/4
- ア 弧 2π、面積 6π l = rθ = 6・π/3 = 2π、S = (1/2)r²θ = (1/2)・36・π/3 = 6π。
標準
- エ cos θ π が関わると符号だけ、π/2 が関わると sin と cos が入れかわる。θ を第 1 象限として符号を確かめる。cos θ
- エ π/3 < θ < 2π/3 単位円で、境界の角を求めてから、条件を満たす側の範囲を読む。π/3 < θ < 2π/3
- ア 振幅 2、周期 2π/3、θ 軸方向に π/9 平行移動 3θ − π/3 = 3(θ − (π/9)) と変形。振幅 2、周期 2π ÷ 3 = 2π/3、θ 軸方向に π/9 だけ平行移動。振幅 2、周期 2π/3、θ 軸方向に π/9 平行移動
- ウ 4 個 0 ≦ 2θ < 4π の範囲で 2θ = π/6、5π/6、13π/6、17π/6 の 4 つ。
- イ θ = 0、2π/3、4π/3 (2cos θ + 1)(cos θ − 1) = 0 → cos θ = −1/2、1。
- 42 9 分で回る角は 2π × 9/12 = 3π/2。中心の高さは 2 + 40 = 42 m で、いちばん低い位置から角 θ 回ったときの高さは 42 − 40cos θ。cos 3π/2 = 0 なので 42 m。
- 2 2θ = u とおくと 0 ≦ u < 4π（2 周分）。sin u = −1 の解は 1 周に 1 個なので、全部で 2 個。
- エ a = −π/2（左へ π/2） y = sin(θ − a) は y = sin θ を θ 軸方向に a だけ移動したグラフ。cos θ = sin(θ + π/2) = sin(θ − (−π/2)) なので a = −π/2（左へ π/2）。
- イ 68π/9 cm 長針は 20 分で 2π/3 回り、道のり 12 × 2π/3 = 8π。短針は 1 分に π/360 回るので 20 分で π/18、道のり 8 × π/18 = 4π/9。差は 8π − 4π/9 = 68π/9 cm。
発展
- エ θ = 0、π/3、5π/3 sin²θ = 1 − cos²θ で cos だけに：−2cos²θ + 3cos θ − 1 = 0 → (2cos θ − 1)(cos θ − 1) = 0 → cos θ = 1/2、1。
- イ −√2 ≦ y ≦ √2 y² = 1 + 2sin θ cos θ = 1 + sin 2θ ≦ 2。y = √2 sin(θ + π/4) でもよい（h2-08 の合成）。
- エ 振幅 2、周期 π、θ 軸方向に π/6 平行移動 2θ − π/3 = 2(θ − π/6)。
- エ y = 3sin(2θ − π/6) + 2 振幅 a = (5 − (−1))/2 = 3、中心 d = (5 + (−1))/2 = 2、周期 2π/b = π より b = 2。θ = π/3 で最大なので 2·π/3 + c = π/2、c = −π/6。
- エ π/4 < θ < 5π/4 単位円で、y 座標が x 座標より大きい部分（直線 y = x の上側）を読む。sin θ − cos θ = √2 sin(θ − π/4) > 0 からも π/4 < θ < 5π/4。tan θ > 1 だけでは cos θ ≦ 0 の部分を取りこぼす。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-07/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
📄 紙で解くなら プリント（レベルと問題数を選べます）。このページをそのまま印刷しても各レベル 10 問と解答が出ます。