指数の拡張・指数関数 ── 問題
基礎
- 8^(−2/3) の値を求めなさい。
- 次の計算をしなさい。 3^3 × 3^(−4) ÷ 3^−3
- 方程式 4^x = 1/2 を解きなさい。 （ア x = 1/2 イ x = −1/2 ウ x = −2）
- 次の 3 つの数を小さい順に並べなさい。 27、243、1/27 （ア 27 < 243 < 1/27 イ 243 < 1/27 < 27 ウ 243 < 27 < 1/27 エ 1/27 < 27 < 243）
- 8^(2/3) の値はどれですか。 （ア 4 イ 16/3 ウ √8 エ 2）
標準
- 方程式 4^x − 1・2^x − 12 = 0 を解きなさい。 （ア x = 2、−3 イ x = −2 ウ x = 4 エ x = 2）
- 不等式 3^x ≦ 3 を解きなさい。 （ア x ≧ 1 イ x ≦ 3 ウ x ≦ −1 エ x ≦ 1）
- 次の 3 つの数を小さい順に並べなさい。 ⁴√5、√2、⁴√6 （ア √2 < ⁴√5 < ⁴√6 イ ⁴√6 < ⁴√5 < √2 ウ ⁴√5 < √2 < ⁴√6）
- 不等式 4ˣ − 5・2ˣ + 4 < 0 の解はどれですか。 （ア 0 < x < 2 イ x < 0 または x > 2 ウ 1 < x < 4 エ x < 2）
- y = 4ˣ − 2ˣ⁺¹ + 3 の最小値はどれですか。 （ア 最小値はない イ 2（x = 1） ウ 3（x = 0） エ 2（x = 0））
発展
- x > 0 のとき、2ˣ + 2⁻ˣ の最小値はどれですか。 （ア 1 イ 2（x = 0） ウ 2（x = 0 のとき、ただし x > 0 では下限） エ √2）
- (1/3)ˣ ≧ 1/9 の解はどれですか。 （ア x ≧ 2 イ x ≦ 2 ウ x ≦ −2 エ x ≧ −2）
- 2ˣ + 2⁻ˣ = 3 のとき、4ˣ + 4⁻ˣ の値はどれですか。 （ア 7 イ 9 ウ 11 エ 5）
指数の拡張・指数関数 ── 解答
基礎
- 1/4 8 = 2^3 なので 8^(−2/3) = 2^(3×(−2/3)) = 1/2^2 = 1/4。
- 9 指数法則：3^(3 + (−4) − (−3)) = 3^(2) = 9。
- イ x = −1/2 底を 2 にそろえる：2^(2x) = 2^(−1)。2x = −1。x = −1/2
- エ 1/27 < 27 < 243 底 3 にそろえると 3^(3)、3^(5)、3^(−3)。底が 1 より大きいので指数の大きい順に大きい。1/27 < 27 < 243
- ア 4 8 = 2³ なので 8^(2/3) = 2² = 4。
標準
- エ x = 2 2^x = t（t > 0）とおくと t² − 1t − 12 = 0 → (t − 4)(t + 3) = 0。t > 0 より t = 4。x = 2
- エ x ≦ 1 底をそろえると 3^x ≦ 3^(1)。底が 1 より大きいので向きはそのまま。x ≦ 1
- ア √2 < ⁴√5 < ⁴√6 すべて 4 乗すると 5、4、6。正の数どうしは 4 乗しても大小が変わらない。√2 < ⁴√5 < ⁴√6
- ア 0 < x < 2 2ˣ = t：(t − 1)(t − 4) < 0 → 1 < t < 4 → 1 < 2ˣ < 4 → 0 < x < 2。
- エ 2（x = 0） 2ˣ = t > 0：y = t² − 2t + 3 = (t − 1)² + 2。t = 1 すなわち x = 0 で最小値 2。
発展
- イ 2（x = 0） 相加相乗平均：2ˣ + 2⁻ˣ ≧ 2√(2ˣ・2⁻ˣ) = 2。等号は 2ˣ = 2⁻ˣ、x = 0。（x ≧ 0 で考えると最小値 2）
- イ x ≦ 2 (1/3)ˣ ≧ (1/3)²。底 1/3 < 1 なので向きが逆：x ≦ 2。
- ア 7 (2ˣ + 2⁻ˣ)² = 4ˣ + 2 + 4⁻ˣ → 4ˣ + 4⁻ˣ = 9 − 2 = 7。
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