高校数学英語理科社会国語中学数学英語理科社会国語

小テスト ／ h2-09

指数の拡張・指数関数

← 解説に戻る　高校数学の単元一覧

レベルを選ぶ（最大10問。数を変えた問題が毎回出ます）

パソコンなら 1〜5 キーで選択、Enter で次へ

指数の拡張・指数関数 ── 問題

基礎

  1. 16^(−5/2) の値を求めなさい。
  2. 次の計算をしなさい。 5^5 × 5^(−4) ÷ 5^(−1)
  3. 方程式 27^x = 3 を解きなさい。　（ア x = 3　イ x = 4/3　ウ x = 1/3　エ x = −1/3）
  4. 次の 3 つの数を小さい順に並べなさい。 1、243、81　（ア 1 < 81 < 243　イ 81 < 1 < 243　ウ 1 < 243 < 81　エ 243 < 81 < 1）
  5. 8^(2/3) の値はどれですか。　（ア 4　イ 16/3　ウ √8　エ 2）

標準

  1. 方程式 9^x − 76・3^x − 405 = 0 を解きなさい。　（ア x = 4　イ x = 4、−5　ウ x = −4　エ x = 81）
  2. 不等式 2^x < 16 を解きなさい。　（ア x < 4　イ x < −4　ウ x > 4　エ x < 16）
  3. 次の 3 つの数を小さい順に並べなさい。 ³√4、√2、⁶√10　（ア ³√4 < √2 < ⁶√10　イ √2 < ⁶√10 < ³√4　ウ ⁶√10 < ³√4 < √2　エ ³√4 < ⁶√10 < √2）
  4. 不等式 4ˣ − 5・2ˣ + 4 < 0 の解はどれですか。　（ア 0 < x < 2　イ x < 0 または x > 2　ウ 1 < x < 4　エ x < 2）
  5. y = 4ˣ − 2ˣ⁺¹ + 3 の最小値はどれですか。　（ア 最小値はない　イ 2（x = 1）　ウ 3（x = 0）　エ 2（x = 0））
  6. ある放射性物質の量は 5 年ごとに半分になる。この物質の量がはじめの 1/4 になるのは何年後か求めなさい。
  7. 3 つの数 √2、∛3、⁶√6 の大小を比べたい。 太郎：根号の種類がばらばらだから比べにくいね。 花子：全部を 6 乗すれば整数どうしで比べられるよ。 小さい順に並べたものはどれですか。　（ア ⁶√6 < √2 < ∛3　イ √2 < ∛3 < ⁶√6　ウ ⁶√6 < ∛3 < √2　エ √2 < ⁶√6 < ∛3）
  8. ある薬を飲むと、血液中の薬の量は 6 時間ごとに半分になる。飲んだ直後の量が 400 mg のとき、量が 50 mg 以下になるのは飲んでから何時間後からですか。　（ア 18 時間後　イ 24 時間後　ウ 48 時間後　エ 12 時間後）

発展

  1. x が実数全体を動くとき、2ˣ + 2⁻ˣ の最小値はどれですか。　（ア 1　イ 2（x = 0）　ウ 4（x = 1）　エ √2）
  2. (1/3)ˣ ≧ 1/9 の解はどれですか。　（ア x ≧ 2　イ x ≦ 2　ウ x ≦ −2　エ x ≧ −2）
  3. 2ˣ + 2⁻ˣ = 3 のとき、4ˣ + 4⁻ˣ の値はどれですか。　（ア 7　イ 9　ウ 11　エ 5）
  4. 2ˣ + 2⁻ˣ = 3 のとき、8ˣ + 8⁻ˣ の値を求めなさい。
  5. x の方程式 4ˣ − 2ˣ⁺¹ + a = 0 が異なる 2 つの実数解をもつような定数 a の範囲はどれですか。　（ア a > 1　イ 0 < a ≦ 1　ウ a < 1　エ 0 < a < 1）
  6. 関数 y = 2ˣ + 2²⁻ˣ の最小値を考える。 太郎：2ˣ と 2²⁻ˣ はどちらも正だから、相加平均と相乗平均の関係が使えるね。 花子：2 つの積が一定になるかを確かめよう。 最小値と、そのときの x の組み合わせはどれですか。　（ア x = 2 のとき最小値 5　イ x = 1 のとき最小値 4　ウ x = 0 のとき最小値 5　エ x = 1 のとき最小値 2）

指数の拡張・指数関数 ── 解答

基礎

  1. 1/1024　16 = 4^2 なので 16^(−5/2) = 4^(2×(−5/2)) = 1/4^5 = 1/1024。
  2. 25　指数法則：5^(5 + (−4) − (−1)) = 5^(2) = 25。
  3. ウ　x = 1/3　底を 3 にそろえる：3^(3x) = 3^(1)。3x = 1。x = 1/3
  4. ア　1 < 81 < 243　底 3 にそろえると 3^(0)、3^(5)、3^(4)。底が 1 より大きいので指数の大きい順に大きい。1 < 81 < 243
  5. ア　4　8 = 2³ なので 8^(2/3) = 2² = 4。

標準

  1. ア　x = 4　3^x = t（t > 0）とおくと t² − 76t − 405 = 0 → (t − 81)(t + 5) = 0。t > 0 より t = 81。x = 4
  2. ア　x < 4　底をそろえると 2^x < 2^(4)。底が 1 より大きいので向きはそのまま。x < 4
  3. イ　√2 < ⁶√10 < ³√4　すべて 6 乗すると 16、8、10。正の数どうしは 6 乗しても大小が変わらない。√2 < ⁶√10 < ³√4
  4. ア　0 < x < 2　2ˣ = t：(t − 1)(t − 4) < 0 → 1 < t < 4 → 1 < 2ˣ < 4 → 0 < x < 2。
  5. エ　2（x = 0）　2ˣ = t > 0：y = t² − 2t + 3 = (t − 1)² + 2。t = 1 すなわち x = 0 で最小値 2。
  6. 10　t 年後の量ははじめの (1/2)^(t/5) 倍。(1/2)^(t/5) = 1/4 = (1/2)^2 より t/5 = 2、t = 10 年。
  7. ア　⁶√6 < √2 < ∛3　6 乗すると (√2)⁶ = 8、(∛3)⁶ = 9、(⁶√6)⁶ = 6。正の数どうしは 6 乗の大小と元の大小が同じなので ⁶√6 < √2 < ∛3。
  8. ア　18 時間後　t 時間後の量は 400·(1/2)^(t/6)。400·(1/2)^(t/6) ≦ 50 → (1/2)^(t/6) ≦ (1/2)³。底 1/2 は 1 より小さいので不等号の向きが変わり t/6 ≧ 3、t ≧ 18。

発展

  1. イ　2（x = 0）　相加相乗平均：2ˣ + 2⁻ˣ ≧ 2√(2ˣ・2⁻ˣ) = 2。等号は 2ˣ = 2⁻ˣ、すなわち x = 0 のとき。
  2. イ　x ≦ 2　(1/3)ˣ ≧ (1/3)²。底 1/3 < 1 なので向きが逆：x ≦ 2。
  3. ア　7　(2ˣ + 2⁻ˣ)² = 4ˣ + 2 + 4⁻ˣ → 4ˣ + 4⁻ˣ = 9 − 2 = 7。
  4. 18　2ˣ = u とおくと u + u⁻¹ = 3。8ˣ + 8⁻ˣ = u³ + u⁻³ = (u + u⁻¹)³ − 3(u + u⁻¹) = 3³ − 3·3 = 18。
  5. エ　0 < a < 1　2ˣ = t（t > 0）とおくと t² − 2t + a = 0。x と t は 1 対 1 に対応するので、この式が異なる 2 つの正の解をもてばよい。判別式 1 − a > 0、2 解の和 2 > 0、積 a > 0 より 0 < a < 1。
  6. イ　x = 1 のとき最小値 4　2ˣ·2²⁻ˣ = 2² = 4（一定）。相加平均と相乗平均の関係より 2ˣ + 2²⁻ˣ ≧ 2√4 = 4。等号は 2ˣ = 2²⁻ˣ、つまり x = 1 のとき。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-09/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

📄 紙で解くなら プリント（レベルと問題数を選べます）。このページをそのまま印刷しても各レベル 10 問と解答が出ます。