微分係数・導関数・接線 ── 問題
基礎
- 関数 f(x) = −2x³ − 2x − 4 を微分しなさい。 （ア −6x² − 6 イ −2x² − 2 ウ −6x² − 2 エ −6x³ − 2x）
- 関数 f(x) = 2x³ + x² + 5x について、微分係数 f′(2) を求めなさい。
- 曲線 y = x² + 3x + 2 上の x = 2 の点における接線の方程式を求めなさい。 （ア y = 7x + 26 イ y = 12x − 17 ウ y = 7x − 2 エ y = 7x + 12）
- 曲線 y = x³ + x 上の点 (1, 2) における接線の方程式を求めなさい。 （ア y = 2x イ y = 4x + 2 ウ y = 4x − 2 エ y = 4x − 6）
- f(x) = (x − 1)(x + 2) の導関数はどれですか。 （ア 1 イ 2x + 1 ウ x + 1 エ 2x − 1）
標準
- 曲線 y = x² の接線のうち、傾きが −2 であるものの方程式を求めなさい。 （ア y = −2x + 1 イ y = −2x − 1 ウ y = −2x）
- 点 (0, −1) から曲線 y = x² に引いた接線の方程式をすべて求めなさい。 （ア y = −2x − 1、y = 2x − 1 イ y = 0 ウ y = −x − 1、y = x − 1 エ y = −2x + 1、y = 2x + 1）
- 曲線 y = x² + k と直線 y = −4x が接するとき、定数 k の値を求めなさい。
- f(x) = x³ + ax² + bx が x = 1 で接線の傾き 0 をもち、点 (1, −2) を通るとき、a、b の値はどれですか。 （ア a = −1、b = −2 イ a = −3、b = 0 ウ a = 0、b = −3 エ a = 1、b = −4）
- lim_{h→0} {(2 + h)² − 4}/h の値はどれですか。 （ア h イ 4 ウ 0 エ 2）
発展
- 曲線 y = x³ − 3x 上の点 (1, −2) における接線が、この曲線と再び交わる点の x 座標はどれですか。 （ア 2 イ −1 ウ 0 エ −2）
- 点 (0, −4) から曲線 y = x² に引いた 2 本の接線のなす角はどれですか。 （ア 45° イ 接線は y = ±4x − 4、tan θ = |8/(1 − 16)| = 8/15 となる角 ウ 60° エ 90°）
- 曲線 y = x³ の接線で、点 (2, 0) を通るものは何本ありますか。 （ア 2 本 イ 1 本 ウ 0 本 エ 3 本）
微分係数・導関数・接線 ── 解答
基礎
- ウ −6x² − 2 (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹、定数は 0。f′(x) = −6x² − 2
- 33 f′(x) = 6x² + 2x + 5。x = 2 を代入して 33（x = 2 における接線の傾き）。
- ウ y = 7x − 2 f(2) = 12、f′(x) = 2x + 3 より f′(2) = 7。y − (12) = 7(x − (2))。y = 7x − 2
- ウ y = 4x − 2 f′(x) = 3x² + 1、f′(1) = 4。y − (2) = 4(x − (1))。y = 4x − 2
- イ 2x + 1 展開して x² + x − 2。微分すると 2x + 1。
標準
- イ y = −2x − 1 f′(x) = 2x = −2 より接点の x 座標 −1、接点 (−1, 1)。y − 1 = −2(x − (−1))。y = −2x − 1
- ア y = −2x − 1、y = 2x − 1 接点を (t, t²) とおくと接線は y = 2tx − t²。(0, −1) を通るので −1 = 2t·0 − t² → t = −1、1。y = −2x − 1、y = 2x − 1
- 4 接点 x = t で値と傾きが一致：t² + k = −4t かつ 2t = −4 → t = −2 → k = 4。（判別式 D = 0 でも同じ）
- ウ a = 0、b = −3 f′(1) = 3 + 2a + b = 0、f(1) = 1 + a + b = −2。連立して a = 0、b = −3。
- イ 4 (4h + h²)/h = 4 + h → 4。（f(x) = x² の x = 2 における微分係数）
発展
- エ −2 f′(1) = 0 → 接線 y = −2。x³ − 3x = −2 → (x − 1)²(x + 2) = 0 → x = −2。
- イ 接線は y = ±4x − 4、tan θ = |8/(1 − 16)| = 8/15 となる角 t² = 4 → t = ±2。接線 y = 4x − 4、y = −4x − 4。傾き 4 と −4 のなす角は tan θ = |(4 + 4)/(1 − 16)| = 8/15。
- ア 2 本 接点 t：y = 3t²x − 2t³。(2, 0) を通る：6t² − 2t³ = 0 → t²(3 − t) = 0 → t = 0、3 の 2 本。
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