微分係数・導関数・接線 ── 問題
基礎
- 関数 f(x) = −2x³ − 2x − 4 を微分しなさい。 （ア −6x² − 6 イ −2x² − 2 ウ −6x² − 2 エ −6x³ − 2x）
- 関数 f(x) = 2x³ + x² + 5x について、微分係数 f′(2) を求めなさい。
- 曲線 y = x² + 2x + 3 上の x = −3 の点における接線の方程式を求めなさい。 （ア y = 6x + 14 イ y = −4x + 18 ウ y = −4x − 6 エ y = −4x + 6）
- 曲線 y = x³ + 4x 上の点 (2, 16) における接線の方程式を求めなさい。 （ア y = 16x + 16 イ y = 16x − 48 ウ y = 16x − 16 エ y = 8x）
- f(x) = (x − 1)(x + 2) の導関数はどれですか。 （ア 1 イ 2x + 1 ウ x + 1 エ 2x − 1）
標準
- 曲線 y = x² の接線のうち、傾きが −6 であるものの方程式を求めなさい。 （ア y = −6x + 9 イ y = −6x − 9 ウ y = −6x + 3 エ y = −6x）
- 点 (−1, −3) から曲線 y = x² に引いた接線の方程式をすべて求めなさい。 （ア y = −2x − 1 イ y = −6x − 9、y = 2x − 1 ウ y = −6x + 9、y = 2x + 1 エ y = −3x − 9、y = x − 1）
- 曲線 y = x² + k と直線 y = −2x が接するとき、定数 k の値を求めなさい。
- f(x) = x³ + ax² + bx が x = 1 で接線の傾き 0 をもち、点 (1, −2) を通るとき、a、b の値はどれですか。 （ア a = −1、b = −2 イ a = −3、b = 0 ウ a = 0、b = −3 エ a = 1、b = −4）
- lim_{h→0} {(2 + h)² − 4}/h の値はどれですか。 （ア h イ 4 ウ 0 エ 2）
- 関数 f(x) = −2x² − 3x について、x が −2 から 4 まで変わるときの平均変化率と、微分係数 f′(c) が等しくなるような c の値を求めなさい。
- f(x) = x³ の x = 2 における微分係数を、定義どおりに求めたい。 太郎：(f(2 + h) − f(2))/h を計算して、h → 0 の極限をとればいいね。 花子：(2 + h)³ を展開してから h で割ろう。 h で割って整理した式と、極限の値の組み合わせはどれですか。 （ア 4 + 2h + h²、4 イ 12 + 6h + h²、12 ウ 6 + 3h + h²、6 エ 12 + 6h + h²、0）
- ボールを真上に投げ上げてから t 秒後の高さが h = 20t − 5t²（m）で表される。t = 1 の瞬間の、上向きの速さはどれですか。 （ア 毎秒 5 m イ 毎秒 15 m ウ 毎秒 20 m エ 毎秒 10 m）
発展
- 曲線 y = x³ − 3x 上の点 (1, −2) における接線が、この曲線と再び交わる点の x 座標はどれですか。 （ア 2 イ −1 ウ 0 エ −2）
- 点 (0, −4) から曲線 y = x² に引いた 2 本の接線の傾きの組はどれですか。 （ア 8 と −8 イ 2 と −2 ウ 1 と −1 エ 4 と −4）
- 曲線 y = x³ の接線で、点 (2, 0) を通るものは何本ありますか。 （ア 2 本 イ 1 本 ウ 0 本 エ 3 本）
- 曲線 y = x³ + x の接線のうち、点 (0, 54) を通るものの傾きを求めなさい。
- 2 つの放物線 y = x² と y = x² − 4x + 8 の両方に接する直線はどれですか。 （ア y = 2x − 1 イ y = 4x − 4 ウ y = 2x + 1 エ y = −2x − 1）
- 曲線 y = x³ − 3x² の接線のうち、傾きが最小のものを求めたい。 太郎：接線の傾きは y′ の値だから、y′ の最小値を考えればいいね。 花子：y′ は 2 次関数だから平方完成しよう。 傾きが最小の接線の方程式はどれですか。 （ア y = −3x − 2 イ y = −3x + 3 ウ y = 3x − 5 エ y = −3x + 1）
微分係数・導関数・接線 ── 解答
基礎
- ウ −6x² − 2 (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹、定数は 0。f′(x) = −6x² − 2
- 33 f′(x) = 6x² + 2x + 5。x = 2 を代入して 33（x = 2 における接線の傾き）。
- ウ y = −4x − 6 f(−3) = 6、f′(x) = 2x + 2 より f′(−3) = −4。y − (6) = −4(x − (−3))。y = −4x − 6
- ウ y = 16x − 16 f′(x) = 3x² + 4、f′(2) = 16。y − (16) = 16(x − (2))。y = 16x − 16
- イ 2x + 1 展開して x² + x − 2。微分すると 2x + 1。
標準
- イ y = −6x − 9 f′(x) = 2x = −6 より接点の x 座標 −3、接点 (−3, 9)。y − 9 = −6(x − (−3))。y = −6x − 9
- イ y = −6x − 9、y = 2x − 1 接点を (t, t²) とおくと接線は y = 2tx − t²。(−1, −3) を通るので −3 = 2t·−1 − t² → t = −3、1。y = −6x − 9、y = 2x − 1
- 1 接点 x = t で値と傾きが一致：t² + k = −2t かつ 2t = −2 → t = −1 → k = 1。（判別式 D = 0 でも同じ）
- ウ a = 0、b = −3 f′(1) = 3 + 2a + b = 0、f(1) = 1 + a + b = −2。連立して a = 0、b = −3。
- イ 4 (4h + h²)/h = 4 + h → 4。（f(x) = x² の x = 2 における微分係数）
- 1 平均変化率は (f(4) − f(−2))/(4 − (−2)) = −7。f′(x) = −4x − 3 = −7 を解くと x = 1（2 次関数では区間のちょうど真ん中）。
- イ 12 + 6h + h²、12 (2 + h)³ − 8 = 12h + 6h² + h³。h で割ると 12 + 6h + h²。h → 0 で 12（f′(x) = 3x² の x = 2 での値と一致）。
- エ 毎秒 10 m 瞬間の速さは h′(t) = 20 − 10t の t = 1 での値 10。0 秒から 1 秒までの平均の速さ (15 − 0)/1 = 15 とは異なる。
発展
- エ −2 f′(1) = 0 → 接線 y = −2。x³ − 3x = −2 → (x − 1)²(x + 2) = 0 → x = −2。
- エ 4 と −4 接点 (t, t²) の接線 y = 2tx − t² が (0, −4) を通るので −4 = −t² → t = ±2。傾きは 2t = ±4（接線は y = 4x − 4、y = −4x − 4）。
- ア 2 本 接点 t：y = 3t²x − 2t³。(2, 0) を通る：6t² − 2t³ = 0 → t²(3 − t) = 0 → t = 0、3 の 2 本。
- 28 接点を (t, t³ + t) とすると接線は y = (3t² + 1)(x − t) + t³ + t。x = 0 を代入すると y 切片は −2t³。−2t³ = 54 より t = −3。傾きは 3·(−3)² + 1 = 28。
- ア y = 2x − 1 y = x² 上の点 (t, t²) における接線 y = 2tx − t² が、もう一方の放物線と接する条件を調べる。x² − (2t + 4)x + t² + 8 = 0 の判別式 D/4 = (t + 2)² − (t² + 8) = 4t − 4 = 0 より t = 1。y = 2x − 1。
- エ y = −3x + 1 y′ = 3x² − 6x = 3(x − 1)² − 3 は x = 1 で最小 −3。接点は (1, −2) なので y = −3(x − 1) − 2 = −3x + 1。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-11/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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