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小テスト ／ ha-01

場合の数（和の法則・積の法則・順列・円順列・重複順列）

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場合の数（和の法則・積の法則・順列・円順列・重複順列） ── 問題

基礎

  1. 7P2 の値を求めなさい。
  2. 5 人の中から 3 人を選んで一列に並べる並べ方は何通りありますか。
  3. 0、1、2、…、6 の 7 枚のカードから 2 枚を選んで並べ、2 けたの整数を作る。全部で何個できますか。
  4. 8 人が円形のテーブルに座る座り方は何通りありますか。
  5. 5 種類の記号を、同じ記号を何度使ってもよいとして 2 個並べる。並べ方は何通りありますか。
  6. 72 の正の約数の個数はどれですか。　（ア 6 個　イ 12 個　ウ 9 個　エ 8 個）

標準

  1. A、B を含む 4 人を一列に並べるとき、A と B が隣り合う並べ方は何通りありますか。
  2. A、B を含む 5 人を一列に並べるとき、A と B が隣り合わない並べ方は何通りありますか。
  3. 0、1、2、…、6 の 7 枚のカードから 3 枚を選んで並べて 3 けたの整数を作る。偶数は何個できますか。
  4. 4 人を 2 つの部屋 A、B に分ける方法は何通りありますか。ただし、どちらの部屋にも少なくとも 1 人は入るものとします。
  5. 異なる 5 色の玉を糸に通してネックレスを作る方法は何通りですか。　（ア 60 通り　イ 120 通り　ウ 12 通り　エ 24 通り）
  6. 男子 3 人、女子 2 人を一列に並べるとき、両端が男子になる並べ方は何通りですか。　（ア 24 通り　イ 12 通り　ウ 72 通り　エ 36 通り）
  7. A、B、C を含む 8 人が一列に並ぶ。A が B より左、B が C より左にいる並び方は何通りありますか。（隣り合っていなくてもよい）
  8. 一列に並んだ 4 つの区画を、5 色の絵の具でぬり分ける。同じ色を何回使ってもよいが、隣り合う区画は違う色にする。ぬり方は何通りありますか。
  9. Aさん「男子 3 人と女子 3 人が、男女交互に一列に並ぶ並び方は、3! × 3! = 36 通りだね。」 Bさん「それだと 1 つ数え忘れているよ。」 正しい並び方の数はどれですか。　（ア 144 通り　イ 72 通り　ウ 36 通り　エ 720 通り）

発展

  1. a、b、c、d、e の 5 文字を並べてできる文字列をアルファベット順に並べたとき、cbade は何番目ですか。　（ア 49 番目　イ 54 番目　ウ 55 番目　エ 56 番目）
  2. 大人 2 人と子ども 4 人が円卓に座る。大人 2 人が向かい合う座り方は何通りですか。　（ア 12 通り　イ 120 通り　ウ 48 通り　エ 24 通り）
  3. 360 の正の約数の個数と、その総和の組み合わせはどれですか。　（ア 18 個、1170　イ 24 個、1170　ウ 24 個、1080　エ 20 個、1000）
  4. 1 から 7 までの 7 個の数字から異なる 3 個を選んで並べ、3 けたの整数を作る。このうち 3 の倍数は何個ありますか。

場合の数（和の法則・積の法則・順列・円順列・重複順列） ── 解答

基礎

  1. 42　7 から始めて 2 個かける：7 × 6 = 42。
  2. 60　順列 5P3 = 5 × 4 × 3 = 60 通り。
  3. 36　先頭に 0 は置けないので先頭は 6 通り。残りの位は 6 通り。6 × 6 = 36 個。
  4. 5040　円順列は (n − 1)! = 7! = 5040 通り（1 人を固定して残りを並べる）。
  5. 25　各位置に 5 通りずつ → 重複順列 5^2 = 25 通り。
  6. イ　12 個　72 = 2³ × 3²。(3 + 1)(2 + 1) = 12。

標準

  1. 12　A と B をまとめて 1 つとみて 3 個の順列 3! = 6、AB の中の並べ方 2 通り。6 × 2 = 12 通り。
  2. 72　全体 5! = 120 から隣り合う 48 を引いて 72 通り。（他の 3 人を並べて 6、すき間 4 か所から 2 か所に A、B を置く 12 通り、の積でも同じ）
  3. 105　一の位が 0：6 × 5 = 30 個。一の位が 0 以外の偶数（3 通り）：百の位は 0 と一の位以外の 5 通り、十の位 5 通り → 75 個。合計 105 個。
  4. 14　各人が A か B を選ぶ 2^4 = 16 通りから、全員 A・全員 B の 2 通りを引いて 14 通り。
  5. ウ　12 通り　じゅず順列 (5 − 1)!/2 = 12。裏返して同じものを 1 つと数える。
  6. エ　36 通り　両端の男子 ₃P₂ = 6、中の 3 人 3! = 6。6 × 6 = 36。
  7. 6720　A・B・C の 3 人の並び順 3! = 6 通りは、どれも同じ数ずつ現れる。そのうち A→B→C の 1 通りだけを数えるので 40320 ÷ 6 = 6720。
  8. 320　左端は 5 通り。2 つ目からは「すぐ左と違う色」なので 4 通りずつ。5 × 4³ = 320。
  9. イ　72 通り　「男女男女男女」と「女男女男女男」の 2 つの型がある。それぞれ男子の並べ方 3!・女子の並べ方 3! なので 2 × 6 × 6 = 72。

発展

  1. ウ　55 番目　a〜：24、b〜：24、ca〜：6、cba〜 の 1 番目。24 + 24 + 6 + 1 = 55。
  2. エ　24 通り　大人 1 人を固定すると、向かいはもう 1 人の大人で決まる。残り 4 席に子ども 4 人：4! = 24。
  3. イ　24 個、1170　360 = 2³ × 3² × 5。個数 4 × 3 × 2 = 24。総和 (1+2+4+8)(1+3+9)(1+5) = 15 × 13 × 6 = 1170。
  4. 78　3 の倍数は「各位の数の和が 3 の倍数」。和が 3 の倍数になる 3 個の数字の組を数えると 13 組。どの組も並べ方が 3! = 6 通りなので 78 個。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/ha-01/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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