確率（基本・余事象・独立試行・反復試行） ── 問題
基礎
- 大小 2 個のさいころを投げるとき、出た目の和が 3 になる確率を求めなさい。
- 赤玉 2 個、白玉 2 個が入った袋から同時に 2 個取り出すとき、2 個とも赤玉である確率を求めなさい。
- 赤玉 3 個、白玉 4 個が入った袋から同時に 2 個取り出すとき、赤玉と白玉が 1 個ずつである確率を求めなさい。
- さいころを 2 回投げるとき、少なくとも 1 回は 5 の目が出る確率を求めなさい。
- コインを 4 回投げるとき、表がちょうど 1 回出る確率を求めなさい。
- 1〜10 のカードから 1 枚引くとき、2 の倍数または 3 の倍数である確率はどれですか。 （ア 1/2 イ 7/10 ウ 3/5 エ 4/5）
標準
- さいころを 3 回投げるとき、3 の目がちょうど 2 回出る確率を求めなさい。
- 男子 6 人、女子 4 人の中からくじで 3 人を選ぶとき、少なくとも 1 人は女子が選ばれる確率を求めなさい。
- 1 回の試行で事象 A が起こる確率が 1/3 である。この試行を 4 回くり返すとき、A が 3 回以上起こる確率を求めなさい。
- 3 人でじゃんけんを 1 回するとき、あいこになる確率はどれですか。 （ア 1/3 イ 1/9 ウ 2/3 エ 1/2）
- コインを 5 回投げて、5 回目に 3 度目の表が出る確率はどれですか。 （ア 3/8 イ 1/8 ウ 5/16 エ 3/16）
- 袋に赤玉 2 個・白玉 3 個。1 個取り出して色を見て戻す、を 2 回行うとき、2 回とも赤である確率はどれですか。 （ア 2/25 イ 4/25 ウ 1/10 エ 2/5）
- A さんと B さんがそれぞれさいころを 1 回ずつ投げ、出た目の積が 5 の倍数なら A さんの勝ちとする。A さんが勝つ確率を求めなさい。
- さいころを 3 回投げて、少なくとも 1 回は 6 の目が出る確率を求める。 Aさん「1 回あたり 1/6 だから、3 回で 1/6 × 3 = 1/2 だね。」 Bさん「それだと重なりを数えすぎているよ。余事象を使おう。」 正しい確率はどれですか。 （ア 125/216 イ 1/216 ウ 91/216 エ 1/2）
発展
- 数直線上の原点に点 P がある。コインを投げて表なら +1、裏なら −1 動く。5 回投げたあと P が +1 の位置にある確率はどれですか。 （ア 1/4 イ 10/32 × 2 ウ 3/8 エ 5/16）
- A、B が試合をして、各試合で A が勝つ確率が 2/3（引き分けなし）。先に 2 勝したほうを優勝とするとき、A が優勝する確率はどれですか。 （ア 20/27 イ 4/9 ウ 16/27 エ 2/3）
- さいころを 3 回投げて、出た目の最大値が 4 である確率はどれですか。 （ア 37/216 イ 27/216 ウ 64/216 エ 1/6）
- 数直線上の原点に点 P がある。コインを投げ、表が出たら正の向きに 2、裏が出たら負の向きに 1 動かす。コインを 4 回投げたあと、P が座標 2 の点にある確率を求めなさい。
- 当たる確率が 1/10 のくじを、毎回もとに戻して何回か引く。少なくとも 1 回当たる確率が 1/2 を初めてこえるのは、何回引いたときですか。（0.9⁶ = 0.531…、0.9⁷ = 0.478… を使ってよい） （ア 7 回 イ 10 回 ウ 5 回 エ 6 回）
確率（基本・余事象・独立試行・反復試行） ── 解答
基礎
- 1/18 全体 36 通り。和が 3 になる組は 2 通り。2/36 = 1/18。
- 1/6 全体 4C2 = 6 通り、赤 2 個 2C2 = 1 通り。1/6 = 1/6。
- 4/7 全体 7C2 = 21 通り、赤 1 白 1 は 3C1 × 4C1 = 12 通り。12/21 = 4/7。
- 11/36 余事象「1 回も 5 が出ない」の確率は (5/6)^2 = 25/36。1 − 25/36 = 11/36。
- 1/4 反復試行：4C1 × (1/2)^1 × (1/2)^3 = 4/16 = 1/4。
- イ 7/10 5/10 + 3/10 − 1/10（6 の倍数）= 7/10。
標準
- 5/72 反復試行：3C2 × (1/6)^2 × (5/6)^1 = 5/72。
- 5/6 余事象「全員男子」の確率 6C3/10C3 = 20/120 = 1/6。1 − 1/6 = 5/6。
- 1/9 3 回、…、4 回それぞれの反復試行の確率を足す（または余事象で 3 回未満を引く）。1/9
- ア 1/3 全体 27。1 人勝ち 9、2 人勝ち 9。あいこ = 27 − 18 = 9 → 1/3。
- エ 3/16 4 回目までに表 2 回：₄C₂ (1/2)⁴ = 6/16。5 回目が表：× 1/2 → 3/16。
- イ 4/25 戻すので独立。(2/5)² = 4/25。（戻さない場合は 2/5 × 1/4 = 1/10）
- 11/36 36 通りのうち積が 5 の倍数になる組を数える（余事象「5 の倍数にならない」を数えて引いてもよい）。11/36。
- ウ 91/216 余事象は「3 回とも 6 以外」で (5/6)³ = 125/216。1 − 125/216 = 91/216。足し算では 2 回以上 6 が出る場合を重ねて数えてしまう。
発展
- エ 5/16 表 3 回・裏 2 回。₅C₃ (1/2)⁵ = 10/32 = 5/16。
- ア 20/27 2 連勝 (2/3)² = 4/9、または 2 試合目まで 1 勝 1 敗で 3 試合目に勝つ ₂C₁ (2/3)(1/3)(2/3) = 8/27。合計 12/27 + 8/27 = 20/27。
- ア 37/216 「全部 4 以下」− 「全部 3 以下」= (4/6)³ − (3/6)³ = 64/216 − 27/216 = 37/216。
- 3/8 表が r 回なら座標は 2r − (4 − r)。これが 2 になるのは r = 2 のとき。4 回中ちょうど 2 回表が出る確率は 6/16 = 3/8。
- ア 7 回 n 回で 1 回も当たらない確率は 0.9ⁿ。1 − 0.9ⁿ > 1/2 より 0.9ⁿ < 0.5。0.9⁶ はまだ 0.5 より大きく、0.9⁷ で初めて下回る。「10 回で必ず当たる」わけではない。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/ha-03/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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