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小テスト ／ ha-06

円の性質（円周角・内接四角形・接線・方べきの定理）

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円の性質（円周角・内接四角形・接線・方べきの定理） ── 問題

基礎

  1. 四角形 ABCD が円に内接し、∠A = 76°、∠B = 57° のとき、∠C と ∠D の大きさの和を求めなさい。
  2. 四角形 ABCD が円に内接し、∠A = 91° のとき、∠C の外角の大きさを求めなさい。
  3. 円の 2 つの弦 AB、CD が円の内部の点 P で交わっている。PA = 8、PB = 4、PC = 6 のとき、PD の長さを求めなさい。
  4. 円の外部の点 P から円に接線 PT（T は接点）と、円と 2 点 A、B で交わる直線を引く。PA = 8、AB = 10 のとき、PT の長さを求めなさい。　（ア 144　イ 4√5　ウ 5√2　エ 12）
  5. △ABC の内接円が辺 AB、CA と接する点をそれぞれ R、Q とする。AB = 9、BC = 8、CA = 7 のとき、AR の長さを求めなさい。
  6. 4 点 A、B、C、D が同一円周上にある条件として正しくないものはどれですか。　（ア 四角形 ABCD の対角の和が 180°　イ ∠C の外角が ∠A に等しい　ウ 四角形 ABCD の向かい合う角が等しい　エ ∠ACB = ∠ADB（C、D が AB の同じ側））

標準

  1. 半径 7 と半径 3 の 2 つの円の中心間の距離が 14 のとき、2 円の位置関係と共通接線の本数を答えなさい。　（ア 外接する（3 本）　イ 2 点で交わる（2 本）　ウ 内接する（1 本）　エ 離れている（共通接線 4 本））
  2. 半径 4 と半径 2 の 2 つの円があり、中心間の距離は 4 である（2 円は一方が他方の内部にはない）。共通外接線の長さを求めなさい。　（ア 2√3　イ 6　ウ 2　エ 2√5）
  3. 円の接線 AT（T が接点）と弦 TB の作る角が 50° のとき、弦 TB に対する円周角（AT と反対側）はどれですか。　（ア 40°　イ 100°　ウ 50°　エ 130°）
  4. 円の外部の点 P から 2 本の割線を引き、一方が円と A、B（PA = 3、PB = 8）、他方が C、D（PC = 4）で交わるとき、PD はどれですか。　（ア 12　イ 32/3　ウ 6　エ 2）
  5. 円 O の直径 AB 上の点 P を通り AB に垂直な弦 CD について、PA = 2、PB = 8 のとき、CD の長さはどれですか。　（ア 4　イ 16　ウ 8　エ 10）
  6. 図のように、円の 2 つの弦 AB、CD が円の内部の点 P で交わっています。PA = 4、PB = 3、PC = 6 のとき、PD = x を求めなさい。
  7. 円の外部の点 P から 2 本の直線を引き、一方は円と 2 点 A、B（P に近い方が A）、他方は 2 点 C、D（P に近い方が C）で交わる。PA = 6、AB = 6、PC = 3 のとき、PD の長さを求めなさい。
  8. 円 O の点 A における接線 ℓ と弦 AB のなす角が 65° である。 Aさん「接線と弦のなす角は、その角の内側にある弧 AB に対する円周角に等しいんだよね。」 弦 AB に対する中心角 ∠AOB（65° の角の内側にある弧の側）はどれですか。　（ア 50°　イ 115°　ウ 130°　エ 65°）

発展

  1. 点 P から円に引いた接線の長さが 6、P から円の中心 O までの距離が 10 のとき、円の半径はどれですか。　（ア 2√34　イ 8　ウ 4　エ √136）
  2. △ABC の頂点 B、C から対辺に下ろした垂線の足を E、F とする。4 点 B、C、E、F について正しいものはどれですか。　（ア BC を直径とする同一円周上にある　イ EF を直径とする同一円周上にある　ウ 同一円周上にはない　エ B、C、E、F は一直線上にある）
  3. 半径 3 と半径 1 の 2 円が外接している。共通外接線の長さはどれですか。　（ア 4　イ 2√2　ウ √12 × 2　エ 2√3）
  4. 円弧の形をしたトンネルの入口がある。地面に接する両端の間（弦）は 16 m、弦の真ん中から真上に測った高さ（弧のいちばん高いところまで）は 2 m である。この円弧をふくむ円の半径を求めなさい。
  5. 半径 3 の円 O と半径 r の円 O′ があり、中心間の距離 OO′ は 5 である。 Aさん「2 点で交わるのは、中心間の距離が半径の差より大きく、和より小さいときだね。」 2 つの円が 2 点で交わるような r の範囲として正しいものはどれですか。　（ア 2 < r < 8　イ r > 2　ウ 0 < r < 8　エ r < 2 または r > 8）

円の性質（円周角・内接四角形・接線・方べきの定理） ── 解答

基礎

  1. 227　対角の和は 180° なので ∠C = 180° − 76° = 104°、∠D = 180° − 57° = 123°。和は 227°。
  2. 91　∠C = 180° − 91° = 89°、その外角は 180° − 89° = 91°。「外角 = 内対角（∠A）」。
  3. 16/3　方べきの定理：PA × PB = PC × PD。8 × 4 = 6 × PD → PD = 32/6 = 16/3。
  4. エ　12　方べきの定理：PT² = PA × PB = 8 × 18 = 144。PT = 12。
  5. 4　AR = AQ = x とおくと BR = 9 − x、CQ = 7 − x。BC との接点を P とすると BP = BR、CP = CQ より (9 − x) + (7 − x) = 8 → x = (7 + 9 − 8)/2 = 4。
  6. ウ　四角形 ABCD の向かい合う角が等しい　内接四角形の条件は「対角の和が 180°」。向かい合う角が等しいのは平行四辺形の性質。

標準

  1. エ　離れている（共通接線 4 本）　r + r′ = 10、r − r′ = 4 と d = 14 を比べる。離れている（共通接線 4 本）
  2. ア　2√3　中心を結ぶ線・半径の差 2・接線で直角三角形。長さ = √(d² − (r − r′)²) = √(16 − 4) = 2√3。
  3. ウ　50°　接弦定理：接線と弦の作る角は、その弦に対する円周角に等しい。
  4. ウ　6　PA × PB = PC × PD → 24 = 4 × PD → PD = 6。
  5. ウ　8　PC = PD（直径に垂直な弦は二等分される）。方べき PC² = 2 × 8 = 16 → PC = 4、CD = 8。
  6. 2　方べきの定理 PA × PB = PC × PD より 4 × 3 = 6 × x。x = 12/6 = 2。
  7. 24　方べきの定理 PA・PB = PC・PD。PB = 6 + 6 = 12 なので 6 × 12 = 3 × PD、PD = 24。
  8. ウ　130°　接弦定理で弧 AB に対する円周角は 65°。中心角は円周角の 2 倍で 130°。

発展

  1. イ　8　接点 T で OT ⊥ PT。OT² = OP² − PT² = 100 − 36 = 64 → 8。
  2. ア　BC を直径とする同一円周上にある　∠BEC = ∠BFC = 90° なので、BC を直径とする円周上にある（円周角の定理の逆）。
  3. エ　2√3　d = 3 + 1 = 4。√(16 − (3 − 1)²) = √12 = 2√3。
  4. 17　中心から弦までの距離は r − 2。三平方の定理で (r − 2)² + 8² = r²（方べきの定理で 8² = 2(2r − 2) としても同じ）。r = 17（m）。
  5. ア　2 < r < 8　|r − 3| < 5 < r + 3。右側から r > 2、左側から −2 < r < 8。あわせて 2 < r < 8。

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