n 進法・合同式の考え方 ── 問題
基礎
- 3 進法で表された数 10100(3) を 10 進法で表しなさい。
- 10 進法の 70 を 3 進法で表しなさい。 （ア 1012(3) イ 2122(3) ウ 1212(3) エ 2121(3)）
- 2 進法で表すと 2 けたになる正の整数は何個ありますか。
- 5 進法の小数 0.22(5) を 10 進法の分数で表しなさい。
- 4^88 を 13 で割った余りを求めなさい。
- 5 進法で使える数字はどれですか。 （ア 1、2、3、4、5 イ 0、1、2、3、4 ウ 0、1、2、3、4、5 エ 0 と 1）
標準
- 2 進法の計算 1111(2) + 1010(2) の結果を 2 進法で表しなさい。 （ア 11001(2) イ 10010110(2) ウ 11010(2) エ 25(2)）
- 5 進法の計算 10(5) × 4(5) の結果を 5 進法で表しなさい。 （ア 41(5) イ 40(5) ウ 14(5) エ 20(5)）
- 2^31 の一の位の数字を求めなさい。
- 10 進法の 0.625 を 2 進法で表したものはどれですか。 （ア 0.0101₍₂₎ イ 0.11₍₂₎ ウ 0.625₍₂₎ エ 0.101₍₂₎）
- 7¹⁰⁰ を 5 で割った余りはどれですか。 （ア 2 イ 4 ウ 3 エ 1）
発展
- ある正の整数を 5 進法で表すと 3 けたの 2ab₍₅₎、7 進法で表すと ba2₍₇₎ になる。この整数を 10 進法で表すとどれですか。 （ア 51 イ 58 ウ 72 エ 65）
- 2 進法で表すと 6 けた、3 進法で表すと 4 けたになる正の整数の個数はどれですか。 （ア 54 個 イ 27 個 ウ 36 個 エ 32 個）
- n 進法で表された 121₍ₙ₎ を 10 進法にすると、ある整数の 2 乗になる。この理由として正しいものはどれですか。 （ア どの n でも 121₍ₙ₎ = 121 だから イ 121₍ₙ₎ = n² + 2n + 1 = (n + 1)² だから ウ 121₍ₙ₎ = n³ だから エ 121₍ₙ₎ = 11² だから）
n 進法・合同式の考え方 ── 解答
基礎
- 90 1×3^4 + 0×3^3 + 1×3^2 + 0×3^1 + 0×3^0 = 90。
- エ 2121(3) 3 で割り続ける：23 余り 1 → 7 余り 2 → 2 余り 1 → 0 余り 2。余りを下から読んで 2121(3)。
- 2 2 けた ⇔ 2^1 ≦ N < 2^2、つまり 2 〜 3。個数は 2。
- 12/25 2/5 + 2/25 = 12/25。
- 9 合同式で 4 ≡ 4 (mod 13) から、≡ 1 か ≡ −1 になる小さいべきを探すか、余りの周期を見つける。余りは 9。
- イ 0、1、2、3、4 n 進法の数字は 0〜n − 1。
標準
- ア 11001(2) 10 進法に直すと 15 + 10 = 25。25 を 2 進法に戻して 11001(2)。
- イ 40(5) 10 進法に直すと 5 × 4 = 20。20 を 5 進法に戻して 40(5)。
- 8 一の位の周期：2^1〜2^4 の一の位は 2、4、8、6（周期 4 で繰り返す）。31 を 4 で割った余りで決まり、8。
- エ 0.101₍₂₎ 0.625 = 1/2 + 1/8。小数部分に 2 をかけて整数部分を読む：1、0、1。
- エ 1 7 ≡ 2、2² = 4 ≡ −1 (mod 5)。2¹⁰⁰ = (2²)⁵⁰ ≡ (−1)⁵⁰ = 1。
発展
- ア 51 2ab₍₅₎ = 50 + 5a + b、ba2₍₇₎ = 49b + 7a + 2。等しいとおくと 48 = 2a + 48b → a = 24(1 − b)。0 ≦ a ≦ 4 より b = 1、a = 0。201₍₅₎ = 102₍₇₎ = 51。
- エ 32 個 2 進 6 けた：32 ≦ N ≦ 63。3 進 4 けた：27 ≦ N ≦ 80。共通は 32〜63 の 32 個。
- イ 121₍ₙ₎ = n² + 2n + 1 = (n + 1)² だから 各けたを n のべきで展開すると (n + 1)²。n = 10 なら 11² = 121。
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