n 進法・合同式の考え方 ── 問題
基礎
- 3 進法で表された数 10100(3) を 10 進法で表しなさい。
- 10 進法の 70 を 3 進法で表しなさい。 （ア 1012(3) イ 2122(3) ウ 1212(3) エ 2121(3)）
- 2 進法で表すと 2 けたになる正の整数は何個ありますか。
- 5 進法の小数 0.41(5) を 10 進法の分数で表しなさい。
- 7^72 を 9 で割った余りを求めなさい。
- 5 進法で使える数字はどれですか。 （ア 1、2、3、4、5 イ 0、1、2、3、4 ウ 0、1、2、3、4、5 エ 0 と 1）
標準
- 5 進法の計算 22(5) + 22(5) の結果を 5 進法で表しなさい。 （ア 44(5) イ 1034(5) ウ 24(5) エ 100(5)）
- 4 進法の計算 20(4) × 2(4) の結果を 4 進法で表しなさい。 （ア 22(4) イ 101(4) ウ 16(4) エ 100(4)）
- 9^72 の一の位の数字を求めなさい。
- 10 進法の 0.625 を 2 進法で表したものはどれですか。 （ア 0.0101₍₂₎ イ 0.11₍₂₎ ウ 0.625₍₂₎ エ 0.101₍₂₎）
- 7¹⁰⁰ を 5 で割った余りはどれですか。 （ア 2 イ 4 ウ 3 エ 1）
- 今日は木曜日である。今日から 6^26 日後は何曜日ですか。 （ア 木曜日 イ 土曜日 ウ 日曜日 エ 金曜日）
- 先生「10 を 9 で割った余りは 1 です。だから 100、1000、… も 9 で割ると余りは 1 になります。」 生徒「ということは、整数を 9 で割った余りは、各位の数の和を 9 で割った余りと同じですね。」 123456789 を 9 で割った余りはどれですか。 （ア 1 イ 8 ウ 0 エ 3）
発展
- ある正の整数を 5 進法で表すと 3 けたの 2ab₍₅₎、7 進法で表すと ba2₍₇₎ になる。この整数を 10 進法で表すとどれですか。 （ア 51 イ 58 ウ 72 エ 65）
- 2 進法で表すと 6 けた、3 進法で表すと 4 けたになる正の整数の個数はどれですか。 （ア 54 個 イ 27 個 ウ 36 個 エ 32 個）
- n 進法で表された 121₍ₙ₎ を 10 進法にすると、ある整数の 2 乗になる。この理由として正しいものはどれですか。 （ア どの n でも 121₍ₙ₎ = 121 = 11² だから イ 121₍ₙ₎ = n² + 2n + 1 = (n + 1)² だから ウ 121₍ₙ₎ = n³ だから エ 121₍ₙ₎ = 1 + 2 + 1 = 4 = 2² だから）
- 6 進法で表すと 3 けたになり、7 進法で表しても 3 けたになる正の整数は何個ありますか。
- 1 から 31 までの数を、2 進法で表したときに各位が 1 になるかどうかで 5 枚のカードに書き分けた。1 の位が 1 の数はカード A、2 の位が 1 の数はカード B、4 の位はカード C、8 の位はカード D、16 の位はカード E に書く。 相手が思い浮かべた数は「A、C、E のカードにある」と言われた。その数はどれですか。 （ア 10 イ 21 ウ 19 エ 13）
n 進法・合同式の考え方 ── 解答
基礎
- 90 1×3^4 + 0×3^3 + 1×3^2 + 0×3^1 + 0×3^0 = 90。
- エ 2121(3) 3 で割り続ける：23 余り 1 → 7 余り 2 → 2 余り 1 → 0 余り 2。余りを下から読んで 2121(3)。
- 2 2 けた ⇔ 2^1 ≦ N < 2^2、つまり 2 〜 3。個数は 2。
- 21/25 4/5 + 1/25 = 21/25。
- 1 合同式で 7 ≡ 7 (mod 9) から、≡ 1 か ≡ −1 になる小さいべきを探すか、余りの周期を見つける。余りは 1。
- イ 0、1、2、3、4 n 進法の数字は 0〜n − 1。
標準
- ア 44(5) 10 進法に直すと 12 + 12 = 24。24 を 5 進法に戻して 44(5)。
- エ 100(4) 10 進法に直すと 8 × 2 = 16。16 を 4 進法に戻して 100(4)。
- 1 一の位の周期：9^1〜9^4 の一の位は 9、1、9、1（周期 4 で繰り返す）。72 を 4 で割った余りで決まり、1。
- エ 0.101₍₂₎ 0.625 = 1/2 + 1/8。小数部分に 2 をかけて整数部分を読む：1、0、1。
- エ 1 7 ≡ 2、2² = 4 ≡ −1 (mod 5)。2¹⁰⁰ = (2²)⁵⁰ ≡ (−1)⁵⁰ = 1。
- エ 金曜日 7 で割った余りだけを考える。6 の累乗を 7 で割った余りはくり返すので、6^26 ≡ 1（mod 7）。木曜日から 1 日進めて 金曜日。
- ウ 0 各位の数の和は 1 + 2 + … + 9 = 45。45 は 9 で割り切れるので余りは 0。
発展
- ア 51 2ab₍₅₎ = 50 + 5a + b、ba2₍₇₎ = 49b + 7a + 2。等しいとおくと 48 = 2a + 48b → a = 24(1 − b)。0 ≦ a ≦ 4 より b = 1、a = 0。201₍₅₎ = 102₍₇₎ = 51。
- エ 32 個 2 進 6 けた：32 ≦ N ≦ 63。3 進 4 けた：27 ≦ N ≦ 80。共通は 32〜63 の 32 個。
- イ 121₍ₙ₎ = n² + 2n + 1 = (n + 1)² だから 各けたを n のべきで展開すると (n + 1)²。n = 10 なら 11² = 121。
- 167 6 進法で 3 けたは 36 以上 215 以下、7 進法で 3 けたは 49 以上 342 以下。重なりは 49 以上 215 以下で 167 個。
- イ 21 A・C・E は 1・4・16 の位。1 + 4 + 16 = 21（2 進法で 10101）。B・D にないことも 21 と合う。
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