漸化式・数学的帰納法 ── 問題
基礎
- a₁ = 3、aₙ₊₁ = −aₙ − 3 で定められる数列の第 3 項を求めなさい。
- a₁ = 1、aₙ₊₁ = aₙ + 1 で定められる数列の一般項を求めなさい。 （ア aₙ = n イ aₙ = n + 1 ウ aₙ = 1 · 1^(n−1)）
- a₁ = 5、aₙ₊₁ = 2aₙ で定められる数列の一般項を求めなさい。 （ア aₙ = 2n + 3 イ aₙ = 2 · 5^(n−1) ウ aₙ = 5 · 2^(n−1) エ aₙ = 5 · 2^n）
- a₁ = 6、aₙ₊₁ = 2aₙ + 2 で定められる数列の一般項を求めなさい。 （ア aₙ = 8 · 2^(n−1) + 2 イ aₙ = 8 · 2^(n−1) − 2 ウ aₙ = 6 · 2^(n−1) − 2 エ aₙ = 8 · 2^n − 2）
- a₁ = 1、aₙ₊₁ = 2aₙ + 1 の一般項はどれですか。 （ア aₙ = 2n − 1 イ aₙ = 2ⁿ + 1 ウ aₙ = 2ⁿ⁻¹ エ aₙ = 2ⁿ − 1）
標準
- a₁ = −2、aₙ₊₁ = aₙ + 2n − 3 で定められる数列の一般項を求めなさい。 （ア aₙ = 2n − 5 イ aₙ = n² − 4n + 1 ウ aₙ = n² − 2n − 2 エ aₙ = 2n² − 5n + 1）
- a₁ = −2、aₙ₊₁ = 2aₙ − 2 で定められる数列について、bₙ = aₙ − 2 とおくと {bₙ} はどのような数列になりますか。 （ア 初項 −2、公比 2 の等比数列 イ 初項 −4、公比 −2 の等比数列 ウ 初項 −4、公差 −2 の等差数列 エ 初項 −4、公比 2 の等比数列）
- 数学的帰納法で「すべての自然数 n について 4ⁿ − 1 は 3 の倍数」を証明するとき、[2] の段階で仮定する式と示す式の組み合わせとして正しいものはどれですか。 （ア 仮定：4ᵏ − 1 は 3 の倍数 示す：4ᵏ⁺¹ − 1 は 3 の倍数 イ 仮定：4ᵏ − 1 は 3 の倍数 示す：4ᵏ − 1 は 3 の倍数 ウ 仮定：4ᵏ⁺¹ − 1 は 3 の倍数 示す：4ᵏ − 1 は 3 の倍数 エ 仮定：4ⁿ − 1 は 3 の倍数 示す：4ᵏ⁺¹ − 1 は 3 の倍数）
- a₁ = 5、aₙ₊₁ = 3aₙ − 4 の一般項はどれですか。 （ア aₙ = 5·3ⁿ⁻¹ − 4 イ aₙ = 3ⁿ − 2 ウ aₙ = 3ⁿ⁻¹ + 2 エ aₙ = 3ⁿ + 2）
- 数学的帰納法の [2] で最も重要なことはどれですか。 （ア n = k の仮定を使って n = k + 1 を示す イ n = k + 1 を式に代入して、そのまま計算する ウ n = k の場合の式を証明する エ n = 1 の場合を、もう一度確かめる）
- ある池の魚は、1 年たつと数が 2 倍になる。毎年、増えたあとに 90 匹ずつ別の池へ移す。今 150 匹いるとき、移したあとの数が初めて 10000 匹を超えるのは何年後か求めなさい。
- 階段を 1 段ずつ、または 2 段ずつ上る。n 段の階段の上り方を aₙ 通りとする（a₁ = 1、a₂ = 2）。 太郎：最後の一歩が 1 段か 2 段かで場合分けしよう。 花子：それぞれ、その前までの上り方の数と同じになるね。 立てる漸化式と a₈ の組み合わせはどれですか。 （ア aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ、a₈ = 34 イ aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ、a₈ = 21 ウ aₙ₊₁ = 2aₙ、a₈ = 128 エ aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + 2aₙ、a₈ = 85）
- 濃度 10% の食塩水 100 g がある。ここから 20 g を取り出し、かわりに水 20 g を入れてよくかき混ぜる。この操作を 3 回くり返したあとの濃度はどれですか。 （ア 6.4% イ 4% ウ 4.096% エ 5.12%）
発展
- a₁ = 1、aₙ₊₁ = aₙ/(aₙ + 1) の一般項はどれですか（ヒント：逆数をとる）。 （ア aₙ = 1/2ⁿ⁻¹ イ aₙ = 1/n ウ aₙ = n エ aₙ = 1/(n + 1)）
- 「4ⁿ − 1 は 3 の倍数」を帰納法で示すとき、4ᵏ − 1 = 3m と仮定して 4ᵏ⁺¹ − 1 を変形したものはどれですか。 （ア 4(3m) − 1 = 12m − 1 イ 4(3m − 1) − 1 = 12m − 5 ウ 4(3m + 1) − 1 = 3(4m + 1) エ 4(3m + 1) − 1 = 12m + 4）
- 数列 {aₙ} の初項から第 n 項までの和 Sₙ が Sₙ = 2aₙ − 1 を満たすとき、aₙ はどれですか。 （ア aₙ = 2ⁿ⁻¹ イ aₙ = 2n − 1 ウ aₙ = 2ⁿ エ aₙ = n）
- a₁ = −2、a₂ = 3、aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + 2aₙ で定められる数列の第 7 項を求めなさい。
- a₁ = 1、aₙ₊₁ = 3aₙ + 2ⁿ で定められる数列の一般項はどれですか（ヒント：両辺を 2ⁿ⁺¹ で割る）。 （ア aₙ = 3ⁿ − 2ⁿ⁺¹ + 2 イ aₙ = 3ⁿ⁻¹ + 2ⁿ − 2 ウ aₙ = 2·3ⁿ⁻¹ − 2ⁿ⁻¹ エ aₙ = 3ⁿ − 2ⁿ）
- n ≧ 5 のすべての自然数 n について 2ⁿ > n² を数学的帰納法で示したい。 太郎：n = k（k ≧ 5）で 2ᵏ > k² と仮定して、2ᵏ⁺¹ > (k + 1)² を示せばいいね。 花子：2ᵏ⁺¹ = 2·2ᵏ > 2k² だから、2k² − (k + 1)² ≧ 0 がいえれば十分だよ。 2k² − (k + 1)² ≧ 0 がいえる理由として正しいものはどれですか。 （ア (k − 1)² + 2 と変形でき、常に正になる イ (k − 1)² − 2 と変形でき、k ≧ 5 なら 14 以上 ウ (k − 1)(k + 1) と因数分解でき、k ≧ 5 なら正 エ (k + 1)² − 2 と変形でき、k ≧ 5 なら 34 以上）
漸化式・数学的帰納法 ── 解答
基礎
- 3 順に計算：a₁ から 3、−6、3。第 3 項は 3。
- ア aₙ = n 等差型（公差 1）。aₙ = a₁ + (n − 1)d = 1 + (n − 1)·(1)。aₙ = n
- ウ aₙ = 5 · 2^(n−1) 等比型（公比 2）。aₙ = a₁·r^(n−1)。aₙ = 5 · 2^(n−1)
- イ aₙ = 8 · 2^(n−1) − 2 特性方程式 α = 2α + 2 → α = −2。aₙ₊₁ − (−2) = 2(aₙ − (−2))。bₙ = aₙ − (−2) は初項 8、公比 2 の等比数列。aₙ = 8 · 2^(n−1) − 2
- エ aₙ = 2ⁿ − 1 α = 2α + 1 → α = −1。aₙ + 1 = 2(aₙ₋₁ + 1) → aₙ + 1 = 2·2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ。
標準
- イ aₙ = n² − 4n + 1 階差型：aₙ = a₁ + Σ_(k=1)^(n−1) (2k − 3)（n ≧ 2）。Σ の公式で整理し、n = 1 でも成り立つことを確かめる。aₙ = n² − 4n + 1
- エ 初項 −4、公比 2 の等比数列 特性方程式 α = 2α − 2 → α = 2。aₙ₊₁ − (2) = 2(aₙ − (2)) より bₙ₊₁ = 2bₙ、b₁ = a₁ − (2)。初項 −4、公比 2 の等比数列
- ア 仮定：4ᵏ − 1 は 3 の倍数 示す：4ᵏ⁺¹ − 1 は 3 の倍数 n = k で成り立つと仮定し、n = k + 1 で成り立つことを示す。示す式は n に k + 1 を代入した形。仮定：4ᵏ − 1 は 3 の倍数 示す：4ᵏ⁺¹ − 1 は 3 の倍数
- エ aₙ = 3ⁿ + 2 α = 2。aₙ − 2 = 3(aₙ₋₁ − 2)、a₁ − 2 = 3 → aₙ − 2 = 3·3ⁿ⁻¹ = 3ⁿ。
- ア n = k の仮定を使って n = k + 1 を示す 仮定を使わなければ帰納法にならない。
- 8 n 年後の数を aₙ とすると aₙ₊₁ = 2aₙ − 90、a₀ = 150。aₙ₊₁ − 90 = 2(aₙ − 90) より aₙ = 60·2ⁿ + 90。7 年後は 7770 匹、8 年後は 15450 匹。
- ア aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ、a₈ = 34 n + 2 段は、最後が 1 段なら n + 1 段まで aₙ₊₁ 通り、最後が 2 段なら n 段まで aₙ 通り。aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ。1、2、3、5、8、13、21、34 より a₈ = 34。
- エ 5.12% 1 回の操作で食塩の量は 80/100 = 0.8 倍になる。n 回後の濃度を cₙ とすると cₙ₊₁ = 0.8cₙ、c₀ = 10。c₃ = 10 × 0.8³ = 5.12%。
発展
- イ aₙ = 1/n 1/aₙ₊₁ = 1/aₙ + 1。1/aₙ は初項 1、公差 1 の等差数列 → 1/aₙ = n。
- ウ 4(3m + 1) − 1 = 3(4m + 1) 4ᵏ = 3m + 1 なので 4ᵏ⁺¹ − 1 = 4(3m + 1) − 1 = 12m + 3 = 3(4m + 1)。
- ア aₙ = 2ⁿ⁻¹ a₁ = S₁ = 2a₁ − 1 → a₁ = 1。aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = 2aₙ − 2aₙ₋₁ → aₙ = 2aₙ₋₁。等比数列。
- 19 特性方程式 t² − t − 2 = 0 の解は t = −1、2。aₙ = A·(−1)ⁿ⁻¹ + B·(2)ⁿ⁻¹ とおき、a₁、a₂ から A = −7/3、B = 1/3。n = 7 を代入して 19。
- エ aₙ = 3ⁿ − 2ⁿ bₙ = aₙ/2ⁿ とおくと bₙ₊₁ = (3/2)bₙ + 1/2。bₙ₊₁ + 1 = (3/2)(bₙ + 1)、b₁ + 1 = 3/2 より bₙ + 1 = (3/2)ⁿ。aₙ = 2ⁿbₙ = 3ⁿ − 2ⁿ（a₂ = 5、a₃ = 19 で確かめられる）。
- イ (k − 1)² − 2 と変形でき、k ≧ 5 なら 14 以上 2k² − (k + 1)² = k² − 2k − 1 = (k − 1)² − 2。k ≧ 5 では (k − 1)² ≧ 16 なので 14 以上で正。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/hb-03/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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