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小テスト ／ hb-04

確率変数・確率分布・二項分布

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確率変数・確率分布・二項分布 ── 問題

基礎

  1. 確率変数 X の確率分布が次の表で与えられるとき、期待値 E(X) と分散 V(X) を求めなさい。 X：1、2、3 P：1/4、1/4、1/2　（ア E(X) = 9/4、V(X) = √11/4　イ E(X) = 9/4、V(X) = 7/2　ウ E(X) = 23/4、V(X) = 11/16　エ E(X) = 9/4、V(X) = 11/16）
  2. 確率変数 X の期待値が 6、分散が 7 のとき、Y = −X + 4 の期待値と分散を求めなさい。　（ア E(Y) = −2、V(Y) = 11　イ E(Y) = −2、V(Y) = −7　ウ E(Y) = −2、V(Y) = −3　エ E(Y) = −2、V(Y) = 7）
  3. 確率変数 X が二項分布 B(120, 1/4) に従うとき、期待値 E(X) と分散 V(X) を求めなさい。　（ア E(X) = 30、V(X) = 3√10/2　イ E(X) = 30、V(X) = 3/16　ウ E(X) = 30、V(X) = 45/2　エ E(X) = 30、V(X) = 30）
  4. さいころを 72 回投げて 1 の目が出る回数を X とするとき、X の期待値と標準偏差を求めなさい。　（ア E(X) = 60、σ(X) = √10　イ E(X) = 12、σ(X) = 2√3　ウ E(X) = 12、σ(X) = 10　エ E(X) = 12、σ(X) = √10）
  5. さいころ 1 個の出る目 X の分散 V(X) はどれですか。　（ア 35/6　イ 7/2　ウ 35/12　エ 91/6）

標準

  1. 独立な確率変数 X、Y について E(X) = 3、V(X) = 6、E(Y) = 2、V(Y) = 2 のとき、3X − Y の期待値と分散を求めなさい。　（ア 期待値 7、分散 57　イ 期待値 11、分散 56　ウ 期待値 7、分散 52　エ 期待値 7、分散 56）
  2. コインを 100 回投げて表が出る回数を X とする。Y = 4X + 6 の期待値と分散を求めなさい。　（ア E(Y) = 200、V(Y) = 400　イ E(Y) = 206、V(Y) = 800　ウ E(Y) = 206、V(Y) = 400　エ E(Y) = 206、V(Y) = 106）
  3. 確率変数 X が二項分布 B(4, 1/3) に従うとき、P(X = 3) を求めなさい。
  4. コイン 2 枚を投げて表の枚数を X とするとき、E(X) と V(X) の組み合わせはどれですか。　（ア E(X) = 1、V(X) = 3/2　イ E(X) = 1、V(X) = 1/2　ウ E(X) = 1/2、V(X) = 1/4　エ E(X) = 1、V(X) = 1）
  5. さいころ 2 個の目の和 S の期待値と分散はどれですか。　（ア E(S) = 7/2、V(S) = 35/6　イ E(S) = 7、V(S) = 35/3　ウ E(S) = 7、V(S) = 35/12　エ E(S) = 7、V(S) = 35/6）
  6. 参加費なしのゲームで、さいころを 1 回投げて 6 以上の目が出たら 600 円もらい、それ以外なら 300 円払う。もらえる金額を X 円（払うときは負の数）とするとき、X の期待値を求めなさい（単位 円）。
  7. コインを 2 枚投げ、表の枚数を X、裏の枚数を Y とする。V(X) = V(Y) = 1/2 である。 太郎：V(X + Y) = V(X) + V(Y) = 1 だね。 花子：その公式は X と Y が独立なときのものだよ。X + Y がどんな値をとるか考えてみて。 V(X + Y) の値はどれですか。　（ア 0　イ 1　ウ 2　エ 1/2）
  8. くじ A は確実に 500 円もらえる。くじ B は確率 1/4 で 2400 円、確率 3/4 で 0 円もらえる。もらえる金額の期待値について正しいものはどれですか。　（ア A と B は等しい　イ B のほうが 1900 円大きい　ウ A のほうが 100 円大きい　エ B のほうが 100 円大きい）

発展

  1. 確率変数 X の分散 V(X) について、正しい式はどれですか。　（ア V(X) = {E(X)}² − E(X²)　イ V(X) = E(X²) − E(X)　ウ V(X) = E(X²) − {E(X)}²　エ V(X) = E(X) − {E(X)}²）
  2. 確率変数 X の標準偏差が 4 のとき、Z = (X − E(X))/4 の期待値と分散はどれですか。　（ア E(Z) = 0、V(Z) = 4　イ E(Z) = 0、V(Z) = 1　ウ E(Z) = 0、V(Z) = 1/4　エ E(Z) = E(X)/4、V(Z) = 1）
  3. 1 枚 100 円のくじが 100 本あり、1 等 2000 円 1 本、2 等 500 円 4 本、3 等 100 円 20 本。1 本引いたときの賞金 X の期待値はどれですか。　（ア 60 円　イ 70 円　ウ 100 円　エ 26 円）
  4. 48 問の 4 択問題に、どの問題も 4 つの選択肢から 1 つを無作為に選んで答える。正解 1 問につき 4 点を加え、不正解 1 問につき 1 点を引くとき、得点 Y の分散 V(Y) を求めなさい。
  5. 赤玉 2 個と白玉 3 個が入った袋から、2 個を同時に取り出す（取り出した玉はもどさない）。取り出した赤玉の個数を X とするとき、E(X) と V(X) の組み合わせはどれですか。　（ア E(X) = 4/5、V(X) = 9/25　イ E(X) = 2/5、V(X) = 9/25　ウ E(X) = 4/5、V(X) = 12/25　エ E(X) = 4/5、V(X) = 1）
  6. 確率変数 X が二項分布 B(10, 0.3) に従う。P(X = k) が最大になる k を求めたい。 太郎：P(X = k + 1)/P(X = k) が 1 より大きいかどうかで、増えるか減るかが分かるね。 花子：比は (10 − k)/(k + 1) × 3/7 になるよ。 P(X = k) が最大になる k はどれですか。　（ア k = 5　イ k = 2　ウ k = 3　エ k = 4）

確率変数・確率分布・二項分布 ── 解答

基礎

  1. エ　E(X) = 9/4、V(X) = 11/16　E(X) = Σ xp = 9/4。E(X²) = Σ x²p = 23/4。V(X) = E(X²) − {E(X)}²。E(X) = 9/4、V(X) = 11/16
  2. エ　E(Y) = −2、V(Y) = 7　E(aX + b) = aE(X) + b = −1·6 + 4、V(aX + b) = a²V(X) = 1·7。E(Y) = −2、V(Y) = 7
  3. ウ　E(X) = 30、V(X) = 45/2　B(n, p) では E(X) = np、V(X) = np(1 − p)。120·1/4 と 120·1/4·3/4。E(X) = 30、V(X) = 45/2
  4. エ　E(X) = 12、σ(X) = √10　X は B(72, 1/6)。E = 72·1/6 = 12、V = 72·(1/6)(5/6) = 10、σ = √V。E(X) = 12、σ(X) = √10
  5. ウ　35/12　E(X²) − {E(X)}² = 91/6 − 49/4 = 35/12。

標準

  1. エ　期待値 7、分散 56　E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。独立なので V(aX + bY) = a²V(X) + b²V(Y) = 9·6 + 1·2（b が負でも足す）。期待値 7、分散 56
  2. ウ　E(Y) = 206、V(Y) = 400　X は B(100, 1/2) で E(X) = 50、V(X) = 25。E(Y) = 4·50 + 6、V(Y) = 4²·25。E(Y) = 206、V(Y) = 400
  3. 8/81　P(X = k) = ₙCₖ pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ = 4·(1/3)^3·(2/3)^1 = 8/81。
  4. イ　E(X) = 1、V(X) = 1/2　B(2, 1/2)：E = 1、V = 2·(1/2)(1/2) = 1/2。
  5. エ　E(S) = 7、V(S) = 35/6　独立なので E(X + Y) = 7/2 + 7/2、V(X + Y) = 35/12 + 35/12。
  6. −150　6 以上の目は 1 通り、それ以外は 5 通り。E(X) = 600 × 1/6 + (−300) × 5/6 = −150 円。
  7. ア　0　X + Y はつねに 2 なので V(X + Y) = 0。X と Y は独立でない（Y = 2 − X）ので、V(X) + V(Y) = 1 にはならない。
  8. エ　B のほうが 100 円大きい　B の期待値は 2400 × 1/4 + 0 × 3/4 = 600 円で、A の 500 円より 100 円大きい（ただし B は 3/4 の確率で 0 円になり、ばらつきが大きい）。

発展

  1. ウ　V(X) = E(X²) − {E(X)}²　Σ(x − m)²p を展開すると E(X²) − 2mE(X) + m² = E(X²) − m²。
  2. イ　E(Z) = 0、V(Z) = 1　Z = X/4 − E(X)/4。E(Z) = E(X)/4 − E(X)/4 = 0、V(Z) = V(X)/16 = 16/16 = 1。（標準化）
  3. ア　60 円　(2000·1 + 500·4 + 100·20)/100 = 6000/100 = 60。
  4. 225　正解数 X は二項分布 B(48, 1/4) に従い、V(X) = 48 × 1/4 × 3/4 = 9。Y = 4X − (48 − X) = 5X − 48 なので V(Y) = 5² × V(X) = 225。
  5. ア　E(X) = 4/5、V(X) = 9/25　P(X = 0) = ₃C₂/₅C₂ = 3/10、P(X = 1) = 2·3/10 = 6/10、P(X = 2) = 1/10。E(X) = 4/5、E(X²) = 6/10 + 4/10 = 1、V(X) = 1 − (4/5)² = 9/25。もどす場合の B(2, 2/5) の分散 12/25 とは異なる。
  6. ウ　k = 3　比が 1 より大きいのは 3(10 − k) > 7(k + 1)、k < 2.3 のとき。k = 0、1、2 では次が大きく、k = 3 からは次が小さいので k = 3 で最大（期待値 10 × 0.3 = 3 と一致）。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/hb-04/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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