正規分布・標本平均・推定・検定 ── 問題
基礎
- 確率変数 X が正規分布 N(50, 20²) に従うとき、X = −50 を標準化した値 Z を求めなさい。
- 確率変数 Z が標準正規分布 N(0, 1) に従うとき、P(Z ≧ 2.50) を求めなさい。ただし P(0 ≦ Z ≦ 2.50) = 0.4938 とする。
- 確率変数 X が正規分布 N(50, 10²) に従うとき、P(X ≧ 60) を求めなさい。ただし P(0 ≦ Z ≦ 1.00) = 0.3413 とする。
- 母平均 100、母標準偏差 20 の母集団から大きさ 25 の無作為標本を取り出すとき、標本平均 X̄ の期待値と標準偏差を求めなさい。 （ア E(X̄) = 20、σ(X̄) = 4 イ E(X̄) = 100、σ(X̄) = 0.8 ウ E(X̄) = 100、σ(X̄) = 20 エ E(X̄) = 100、σ(X̄) = 4）
- 正規分布 N(m, σ²) で、m − σ ≦ X ≦ m + σ となる確率に最も近いものはどれですか。 （ア 約 95% イ 約 99.7% ウ 約 68% エ 約 50%）
標準
- 大きさ 400 の標本の平均が 120、母標準偏差が 10 のとき、母平均 m の 95% 信頼区間を求めなさい（小数第 2 位まで）。 （ア 100.40 ≦ m ≦ 139.60 イ 119.95 ≦ m ≦ 120.05 ウ 119.02 ≦ m ≦ 120.98 エ 118.71 ≦ m ≦ 121.29）
- コインを 400 回投げて表が 170 回出た。「コインは公正である」を帰無仮説として有意水準 5%（両側）で検定するとき、検定統計量 Z の値と結論を答えなさい。 （ア Z = −3、棄却する（公正とはいえない） イ Z = −1.5、棄却しない（公正でないとはいえない） ウ Z = −6、棄却する（公正とはいえない） エ Z = −3、棄却しない（公正でないとはいえない））
- 信頼区間の幅を今の 4 分の 1 にするには、標本の大きさ n を何倍にすればよいですか（母標準偏差と信頼度は同じとする）。 （ア 1/4 倍 イ 4 倍 ウ 8 倍 エ 16 倍）
- 95% 信頼区間の意味として正しいものはどれですか。 （ア 母集団のデータの 95% がこの区間に入る イ 母平均がこの 1 つの区間に入る確率が 95% である ウ 標本平均がこの区間に入る確率が 95% である エ 区間の作成をくり返すと、約 95% の区間が母平均を含む）
- 400 人中 100 人が賛成のとき、母比率 p の 95% 信頼区間に最も近いものはどれですか。 （ア 0.208 ≦ p ≦ 0.292 イ 0.15 ≦ p ≦ 0.35 ウ 0.20 ≦ p ≦ 0.30 エ 0.229 ≦ p ≦ 0.271）
- 母標準偏差が 10 の母集団から無作為標本をとり、母平均 m を信頼度 95% で推定する。信頼区間の幅（上端 − 下端）を 2 以下にするには、標本の大きさ n を少なくともいくつにすればよいか求めなさい（係数は 1.96 を使う）。
- 新しい肥料で作物の平均の重さが変わったかを、有意水準 5% で検定した。結果は「帰無仮説は棄却されない」であった。 太郎：棄却されなかったんだから、新しい肥料では平均が変わらないと証明されたね。 花子：その言い方は正しくないよ。 検定の結論の読み取りとして正しいものはどれですか。 （ア 平均が変わったことが 5% の確率で示された イ 標本を増やしても結論は変わらないことが示された ウ 平均が変わったとは判断できない、という結論にとどまる エ 平均が変わらないことが 95% の確率で示された）
- ある模擬試験の得点は、平均 60 点、標準偏差 10 点の正規分布に従うとする。受験者 1000 人のうち 80 点以上の人数として最も近いものはどれですか（P(0 ≦ Z ≦ 2) = 0.4772）。 （ア 約 48 人 イ 約 159 人 ウ 約 228 人 エ 約 23 人）
発展
- 平均 50 の製品を作る機械を調整した。100 個の標本の平均が 52、標準偏差 10 のとき、有意水準 5%（両側）で「平均は変わった」といえますか。 （ア Z = 2 > 1.96 なので変わったといえる イ 標本が少ないので判断できない ウ Z = 0.2 < 1.96 なので変わったとはいえない エ Z = 20 なので変わったといえる）
- コインを 400 回投げて表が 220 回以上出る確率に最も近いものはどれですか（正規分布で近似、P(0 ≦ Z ≦ 2) = 0.4772）。 （ア 0.4772 イ 0.0456 ウ 0.9772 エ 0.0228）
- X ~ N(50, 10²) のとき、P(40 ≦ X ≦ 65) はどれですか（P(0 ≦ Z ≦ 1) = 0.3413、P(0 ≦ Z ≦ 1.5) = 0.4332）。 （ア 0.7745 イ 0.0919 ウ 0.4332 エ 0.8413）
- 1 個のさいころを 720 回投げるとき、1 の目が出る回数 X が 140 回以上になる確率を、正規分布で近似して求めなさい。ただし P(0 ≦ Z ≦ 2.00) = 0.4772 とする。
- ある工場の製品の重さは、平均 200 g、標準偏差 6 g の正規分布に従っていた。製造方法を変えたあと 36 個を無作為に取り出すと、平均は 201.8 g だった（標準偏差は 6 g のままとする）。P(Z ≧ 1.64) ≒ 0.05、P(Z ≧ 1.96) ≒ 0.025 として、有意水準 5% で「重くなった」かを調べる片側検定と、「変わった」かを調べる両側検定の結論の組み合わせはどれですか。 （ア 片側では棄却されず、両側では棄却される イ 片側でも両側でも棄却されない ウ 片側では棄却され、両側では棄却されない エ 片側でも両側でも棄却される）
- ある町で 400 人を無作為に選んで調べると、160 人が新しい施設に賛成だった。 太郎：標本比率は 160/400 = 0.4 だね。 花子：母比率 p の 95% 信頼区間は 0.4 ± 1.96√(0.4 × 0.6/400) で求められるよ（√0.0006 ≒ 0.0245）。 母比率 p の 95% 信頼区間に最も近いものはどれですか。 （ア 0.398 ≦ p ≦ 0.402 イ 0.304 ≦ p ≦ 0.496 ウ 0.376 ≦ p ≦ 0.424 エ 0.352 ≦ p ≦ 0.448）
正規分布・標本平均・推定・検定 ── 解答
基礎
- −5 Z = (X − m)/σ = (−50 − 50)/20 = −5。
- 0.0062 P(Z ≧ 2.50) = P(Z ≧ 0) − P(0 ≦ Z ≦ 2.50) = 0.5 − 0.4938 = 0.0062。
- 0.1587 標準化：Z = (60 − 50)/10 = 1.00。P(Z ≧ 1.00) = 0.5 − 0.3413 = 0.1587。
- エ E(X̄) = 100、σ(X̄) = 4 E(X̄) = m、σ(X̄) = σ/√n = 20/√25 = 20/5。E(X̄) = 100、σ(X̄) = 4
- ウ 約 68% ±1σ に約 68%、±2σ に約 95%、±3σ に約 99.7%。
標準
- ウ 119.02 ≦ m ≦ 120.98 X̄ ± 1.96·σ/√n = 120 ± 1.96 × 10/20 = 120 ± 0.98。119.02 ≦ m ≦ 120.98
- ア Z = −3、棄却する（公正とはいえない） H₀ のもとで表の回数は B(400, 1/2) ≈ N(200, 10²)。Z = (170 − 200)/10。|Z| と 1.96 を比べる。Z = −3、棄却する（公正とはいえない）
- エ 16 倍 幅は σ/√n に比例。√n を 4 倍にするので n は 16 倍。16 倍
- エ 区間の作成をくり返すと、約 95% の区間が母平均を含む 母平均は定数。「区間のほうが」95% の割合で当たる。
- ア 0.208 ≦ p ≦ 0.292 p̂ = 0.25、√(0.25×0.75/400) ≒ 0.0217、1.96 × 0.0217 ≒ 0.042。
- 385 幅は 2 × 1.96 × 10/√n。2 × 1.96 × 10/√n ≦ 2 より √n ≧ 19.60、n ≧ 384.16…。これを満たす最小の整数は 385。
- ウ 平均が変わったとは判断できない、という結論にとどまる 帰無仮説が棄却されないのは「この標本からは、変わったと判断する根拠が足りない」という意味で、帰無仮説が正しいと証明されたわけではない。標本を増やすと棄却される場合もある。
- エ 約 23 人 Z = (80 − 60)/10 = 2。P(Z ≧ 2) = 0.5 − 0.4772 = 0.0228。1000 × 0.0228 ≒ 23 人。
発展
- ア Z = 2 > 1.96 なので変わったといえる Z = (52 − 50)/(10/√100) = 2。
- エ 0.0228 N(200, 100)、Z = (220 − 200)/10 = 2。P(Z ≧ 2) = 0.5 − 0.4772。
- ア 0.7745 Z は −1 〜 1.5。0.3413 + 0.4332。
- 0.0228 X は B(720, 1/6) に従い、平均 120、分散 720 × 1/6 × 5/6 = 100、標準偏差 10。n が大きいので X は近似的に N(120, 10²) に従う。Z = (140 − 120)/10 = 2.00。P(Z ≧ 2.00) = 0.5 − 0.4772 = 0.0228。
- ウ 片側では棄却され、両側では棄却されない Z = (201.8 − 200)/(6/√36) = 1.8。片側検定の棄却域 Z ≧ 1.64 には入るので棄却される。両側検定の棄却域 |Z| ≧ 1.96 には入らないので棄却されない。
- エ 0.352 ≦ p ≦ 0.448 √(0.4 × 0.6/400) = √0.0006 ≒ 0.0245。1.96 × 0.0245 ≒ 0.048 なので 0.352 ≦ p ≦ 0.448。根号の外で 400 で割ると幅が小さくなりすぎる。
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