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小テスト ／ hc-04

二次曲線（放物線・楕円・双曲線）

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二次曲線（放物線・楕円・双曲線） ── 問題

基礎

  1. 放物線 y² = 12x の焦点の座標と準線の方程式を求めなさい。　（ア 焦点 (0, 3)、準線 y = −3　イ 焦点 (−3, 0)、準線 x = 3　ウ 焦点 (3, 0)、準線 x = −3　エ 焦点 (12, 0)、準線 x = −12）
  2. 楕円 x²/9 + y² = 1 の焦点の座標と長軸の長さを求めなさい。　（ア 焦点 (±√10, 0)、長軸 6　イ 焦点 (±2√2, 0)、長軸 3　ウ 焦点 (0, ±2√2)、長軸 2　エ 焦点 (±2√2, 0)、長軸 6）
  3. 双曲線 x²/25 − y²/144 = 1 の焦点の座標と漸近線の方程式を求めなさい。　（ア 焦点 (±13, 0)、漸近線 y = ±(5/12)x　イ 焦点 (±√119, 0)、漸近線 y = ±(12/5)x　ウ 焦点 (0, ±13)、漸近線 y = ±(12/5)x　エ 焦点 (±13, 0)、漸近線 y = ±(12/5)x）
  4. 次の方程式が表す曲線の種類を答えなさい。 4x² + 9y² = 36　（ア 放物線　イ 円　ウ 楕円　エ 双曲線）
  5. 楕円の定義として正しいものはどれですか。　（ア 2 定点からの距離の差が一定　イ 定点からの距離が一定　ウ 2 定点からの距離の和が一定　エ 定点と定直線から等距離）

標準

  1. 楕円 x²/4 + y² = 1 上の点 (0, 1) における接線の方程式を求めなさい。　（ア y = 0　イ x = 4　ウ −y = 1　エ y = 1）
  2. 方程式 9x² − 18x + 4y² + 16y − 11 = 0 が表す曲線を標準形に直し、中心の座標を答えなさい。　（ア 楕円 (x − 1)²/9 + (y + 2)²/4 = 1、中心 (1, −2)　イ 双曲線 (x − 1)²/4 − (y + 2)²/9 = 1、中心 (1, −2)　ウ 楕円 (x + 1)²/4 + (y − 2)²/9 = 1、中心 (−1, 2)　エ 楕円 (x − 1)²/4 + (y + 2)²/9 = 1、中心 (1, −2)）
  3. 媒介変数表示 x = 2 cos θ、y = 3 sin θ で表される曲線の方程式を求めなさい。　（ア x²/2 + y²/3 = 1　イ x²/9 + y²/4 = 1　ウ x²/4 + y²/9 = 1　エ x²/4 − y²/9 = 1）
  4. 焦点 (2, 0)、準線 x = −2 の放物線の方程式はどれですか。　（ア y² = 4x　イ y² = 2x　ウ y² = 8x　エ x² = 8y）
  5. 2 点 (±4, 0) からの距離の和が 10 である点の軌跡はどれですか。　（ア x²/16 + y²/9 = 1　イ x²/100 + y²/36 = 1　ウ x²/25 − y²/9 = 1　エ x²/25 + y²/9 = 1）
  6. パラボラアンテナの断面は放物線で、受信機は焦点に置く。直径 120 cm、深さ 10 cm のアンテナについて、頂点から焦点までの距離を求めなさい（単位 cm）。
  7. 楕円 x²/25 + y²/9 = 1 の 2 つの焦点を F、F′ とする。 太郎：F′ を通る直線が楕円と 2 点 P、Q で交わるとき、三角形 PQF の周の長さを考えよう。 花子：楕円の定義「焦点からの距離の和が一定」を使えば、直線の傾きは関係なさそうだね。 三角形 PQF の周の長さはどれですか。　（ア 12　イ 20　ウ 10　エ 16）
  8. 長軸 10 m、短軸 6 m の楕円形の花壇を地面に描く。2 本のくいを打ち、1 本のひもの両端をそれぞれのくいに結んで、ひもをぴんと張りながら棒で地面に線を引く。ひもの長さと、くいの間隔の組み合わせはどれですか。　（ア ひも 8 m、くいの間隔 6 m　イ ひも 6 m、くいの間隔 8 m　ウ ひも 10 m、くいの間隔 8 m　エ ひも 10 m、くいの間隔 4 m）

発展

  1. 楕円 x²/4 + y² = 1 上の点 (2cos θ, sin θ) について、x + 2y の最大値はどれですか。　（ア √5　イ 2√2　ウ 3　エ 2）
  2. 双曲線 x²/9 − y²/16 = 1 の焦点と、漸近線の組み合わせはどれですか。　（ア 焦点 (0, ±5)、漸近線 y = ±(4/3)x　イ 焦点 (±5, 0)、漸近線 y = ±(3/4)x　ウ 焦点 (±5, 0)、漸近線 y = ±(4/3)x　エ 焦点 (±√7, 0)、漸近線 y = ±(4/3)x）
  3. 楕円 x²/9 + y²/4 = 1 と直線 y = x + k が接する k の値はどれですか。　（ア k = ±√13　イ k = ±3　ウ k = ±√5　エ k = ±2）
  4. 楕円 x²/9 + y²/25 = 1 に内接し、各辺が座標軸に平行な長方形の面積の最大値を求めなさい。
  5. 漸近線が y = ±(3/4)x で、焦点の 1 つが (5, 0) である双曲線の方程式はどれですか。　（ア x²/16 − y²/9 = 1　イ x²/4 − y²/3 = 1　ウ x²/16 + y²/9 = 1　エ x²/9 − y²/16 = 1）
  6. 放物線 y² = 8x 上の点 P と、焦点 F(2, 0) の距離が 6 であるとき、P の x 座標を求めたい。 太郎：P(x, y) として √((x − 2)² + y²) = 6 を解こうか。 花子：放物線の定義を使えば、準線 x = −2 までの距離に置きかえられるよ。 P の x 座標はどれですか。　（ア x = 4　イ x = 6　ウ x = 2　エ x = 8）

二次曲線（放物線・楕円・双曲線） ── 解答

基礎

  1. ウ　焦点 (3, 0)、準線 x = −3　y² = 4px と比べて 4p = 12、p = 3。焦点 (p, 0)、準線 x = −p。焦点 (3, 0)、準線 x = −3
  2. エ　焦点 (±2√2, 0)、長軸 6　a = 3、b = 1。c² = a² − b² = 9 − 1 → c = 2√2。焦点は長軸（x 軸）上、長軸の長さ 2a。焦点 (±2√2, 0)、長軸 6
  3. エ　焦点 (±13, 0)、漸近線 y = ±(12/5)x　a = 5、b = 12。c² = a² + b² = 25 + 144 → c = 13。漸近線は y = ±(b/a)x。焦点 (±13, 0)、漸近線 y = ±(12/5)x
  4. ウ　楕円　x²、y² の係数が同符号なら楕円（等しければ円）、異符号なら双曲線、一方だけ 2 次なら放物線。楕円
  5. ウ　2 定点からの距離の和が一定　差が一定は双曲線、定点と定直線から等距離は放物線、定点から一定は円。

標準

  1. エ　y = 1　接線の公式 x₁x/a² + y₁y/b² = 1 に代入し、分母を払う。y = 1
  2. エ　楕円 (x − 1)²/4 + (y + 2)²/9 = 1、中心 (1, −2)　x と y をそれぞれ平方完成：9(x − 1)² + 4(y + 2)² = 36。両辺を 36 で割る。楕円 (x − 1)²/4 + (y + 2)²/9 = 1、中心 (1, −2)
  3. ウ　x²/4 + y²/9 = 1　cos θ = x/2、sin θ = y/3。cos²θ + sin²θ = 1 に代入。x²/4 + y²/9 = 1
  4. ウ　y² = 8x　p = 2 → y² = 4·2·x。
  5. エ　x²/25 + y²/9 = 1　2a = 10、c = 4 → b² = 25 − 16 = 9。
  6. 90　頂点を原点、軸を y 軸にとると断面は x² = 4py（焦点 (0, p)）。縁の点 (60, 10) を通るので 60² = 4p × 10、p = 90。
  7. イ　20　a = 5 なので PF + PF′ = 10、QF + QF′ = 10。PQ = PF′ + QF′ だから、周の長さ PF + QF + PQ = (PF + PF′) + (QF + QF′) = 20。
  8. ウ　ひも 10 m、くいの間隔 8 m　くいは 2 つの焦点。ひもの長さは焦点からの距離の和で、長軸の長さ 2a = 10 m に等しい。a = 5、b = 3 より c = √(25 − 9) = 4、くいの間隔は 2c = 8 m。

発展

  1. イ　2√2　2cos θ + 2sin θ = 2√2 sin(θ + π/4)。
  2. ウ　焦点 (±5, 0)、漸近線 y = ±(4/3)x　c² = 9 + 16 = 25。漸近線は y = ±(b/a)x = ±(4/3)x。
  3. ア　k = ±√13　4x² + 9(x + k)² = 36 → 13x² + 18kx + 9k² − 36 = 0。D/4 = 81k² − 13(9k² − 36) = 0 → 36k² = 468 → k² = 13。
  4. 30　第 1 象限の頂点を (3cos θ, 5sin θ)（0 < θ < π/2）とおくと、面積は 4 × 3cos θ × 5sin θ = 30sin 2θ。θ = π/4 で最大 30。
  5. ア　x²/16 − y²/9 = 1　x²/a² − y²/b² = 1 とおくと漸近線の傾き b/a = 3/4、焦点から a² + b² = 25。a = 4、b = 3 で x²/16 − y²/9 = 1。
  6. ア　x = 4　放物線上の点は、焦点までの距離と準線 x = −2 までの距離が等しい。PF = x + 2 = 6 より x = 4（このとき y = ±4√2）。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/hc-04/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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