複素数平面（極形式・ド・モアブル） ── 問題
基礎
- 複素数 z = 6 − 8i の絶対値 |z| と共役複素数 z̄ を求めなさい。 （ア |z| = 10、z̄ = 6 + 8i イ |z| = 10、z̄ = −6 + 8i ウ |z| = 10、z̄ = −6 − 8i エ |z| = 100、z̄ = 6 + 8i）
- 複素数 z = −2i を極形式 r(cos θ + i sin θ)（0 ≦ θ < 2π）で表しなさい。 （ア 2(cos 3π/2 + i sin 3π/2) イ 2(cos π/2 + i sin π/2) ウ 2(cos 3π/2 − i sin 3π/2) エ 2²(cos 3π/2 + i sin 3π/2)）
- 点 z = i を原点のまわりに 90° 回転した点を表す複素数を求めなさい。 （ア −1 イ i ウ 1 エ −i）
- ド・モアブルの定理を使って (√3 + i)^6 を計算しなさい。 （ア −64 + i イ 64 ウ −64 エ −64i）
- |z − 2i| = 3 を満たす点 z 全体はどれですか。 （ア 点 2i を中心とする半径 3 の円 イ 点 2 を中心とする半径 3 の円 ウ 点 2i と原点を結ぶ線分の垂直二等分線 エ 原点を中心とする半径 3 の円）
標準
- z₁ = 4(cos π/3 + i sin π/3)、z₂ = (cos π/6 + i sin π/6) のとき、z₁z₂ と z₁/z₂ を極形式で表しなさい。 （ア 4(cos π/18 + i sin π/18)、4(cos π/3 + i sin π/3) イ 4(cos π/2 + i sin π/2)、4(cos π/6 + i sin π/6) ウ 4(cos π/6 + i sin π/6)、4(cos π/2 + i sin π/2) エ 5(cos π/2 + i sin π/2)、3(cos π/6 + i sin π/6)）
- 方程式 z^2 = 1 の解をすべて求めなさい。 （ア z = 1 イ z = ±1 ウ z = 1、−1、i エ z = ±i）
- 3 点 α = 0、β = 1 + i、γ = −2 − 2i について、(γ − α)/(β − α) を計算し、3 点の位置関係を答えなさい。 （ア 実数 −2 なので一直線上にある イ 絶対値が 1 なので二等辺三角形 ウ 虚数なので正三角形をなす エ 純虚数 −2 なのでαβ ⊥ αγ）
- (1 + i)⁸ の値はどれですか。 （ア −16 イ 8 ウ 16 エ 16i）
- 点 β = 3 + i を点 α = 1 + i のまわりに 90° 回転した点はどれですか。 （ア 1 + 3i イ 3 + 3i ウ 1 − i エ −1 + 3i）
- 図の点 z = 1 + 2i を、原点 O のまわりに 90° 回転した点を表す複素数を選びなさい。 （ア 2 − i イ 1 − 2i ウ −2 + i エ −1 + 2i）
- 複素数 z が |z| = 1 を満たしながら動くとき、|z − (−12 + 5i)| の最大値を求めなさい。
- 複素数平面上に 2 点 A(1 + i)、B(3 + i) がある。 太郎：点 B を点 A のまわりに 60° 回転すれば、正三角形の残りの頂点 C になるね。 花子：B − A に cos 60° + i sin 60° をかけて、A を足せばいいよ。 反時計回りに 60° 回転してできる点 C を表す複素数はどれですか。 （ア 2 + (1 + √3)i イ (1 + √3) + 2i ウ 2 + (1 − √3)i エ 2 + √3 i）
- 0 でない複素数 α、β が β/α = 1 + √3 i を満たす。O(0)、A(α)、B(β) とする。 太郎：β/α を極形式にすると 2(cos 60° + i sin 60°) だね。 花子：OB は OA を 60° 回転して 2 倍にしたものだよ。 三角形 OAB の形として正しいものはどれですか。 （ア ∠A = 90° の直角三角形 イ OA = OB の二等辺三角形 ウ 正三角形 エ ∠O = 90° の直角三角形）
発展
- |z − 2| = 2|z + 1| を満たす点 z 全体はどれですか。 （ア 点 2 を中心とする半径 1 の円 イ 2 と −1 を結ぶ線分の垂直二等分線 ウ 点 0 を中心とする半径 2 の円 エ 点 −2 を中心とする半径 2 の円）
- z = cos(2π/5) + i sin(2π/5) のとき、1 + z + z² + z³ + z⁴ の値はどれですか。 （ア 1 イ 0 ウ z⁵ エ 5）
- z² = i の解はどれですか。 （ア z = ±i イ z = ±(1 − i)/√2 ウ z = ±(1 + i)/√2 エ z = ±1）
- (√3 + i)ⁿ が実数となる最小の自然数 n を求めなさい。
- |z − 1| = |z − i| と |z| = 1 を同時に満たす複素数 z はどれですか。 （ア z = ±(√2/2)(1 − i) イ z = ±(1 + i) ウ z = ±(√2/2)(1 + i) エ z = (1 + i)/2）
- 虚数 z について、z + 1/z が実数になる条件を調べたい。 太郎：z + 1/z が実数なら、その共役と等しいから z + 1/z = z̄ + 1/z̄ だね。 花子：整理すると (z − z̄)(1 − 1/(zz̄)) = 0 になるよ。 条件を満たす虚数 z 全体が表す図形はどれですか。 （ア 原点中心・半径 1 の円（z = ±1 を除く） イ 虚軸全体（原点を除く） ウ 実軸全体（原点を除く） エ 原点中心・半径 2 の円（z = ±2 を除く））
複素数平面（極形式・ド・モアブル） ── 解答
基礎
- ア |z| = 10、z̄ = 6 + 8i |z| = √(a² + b²)、z̄ は虚部の符号を変える。|z| = 10、z̄ = 6 + 8i
- ア 2(cos 3π/2 + i sin 3π/2) r = |z|、θ は点を図示して実軸から測った角（象限に注意）。2(cos 3π/2 + i sin 3π/2)
- ア −1 90° 回転は cos 90° + i sin 90° = i をかける。(i)·(i) = −1。
- ウ −64 極形式にすると r = 2。r^6 = 64、偏角を 6 倍して cos、sin を計算する。−64
- ア 点 2i を中心とする半径 3 の円 |z − α| = r は α 中心、半径 r の円。
標準
- イ 4(cos π/2 + i sin π/2)、4(cos π/6 + i sin π/6) 積：絶対値は積 4·1、偏角は和。商：絶対値は商 4、偏角は差。4(cos π/2 + i sin π/2)、4(cos π/6 + i sin π/6)
- イ z = ±1 1 の 2 乗根は cos(2kπ/2) + i sin(2kπ/2)（k = 0〜1）。単位円を 2 等分する点。z = ±1
- ア 実数 −2 なので一直線上にある (γ − α)/(β − α) が実数なら一直線上、純虚数なら垂直。実数 −2 なので一直線上にある
- ウ 16 √2(cos π/4 + i sin π/4) の 8 乗 = 16(cos 2π + i sin 2π)。
- ア 1 + 3i γ − α = (β − α)·i = 2i → γ = 1 + i + 2i = 1 + 3i。
- ウ −2 + i 90° 回転は i をかける。i(1 + 2i) = i + 2i² = −2 + i。（図で z を反時計回りに 90° 回すと、実部と虚部が入れかわって新しい実部に − がつく）
- 14 |z| = 1 は原点中心・半径 1 の円。|z − (−12 + 5i)| は点 −12 + 5i との距離で、原点から点 −12 + 5i までの距離は √((−12)² + (5)²) = 13。最大値は原点をはさんで反対側の点でとり、13 + 1 = 14。
- ア 2 + (1 + √3)i C − A = (B − A)(cos 60° + i sin 60°) = 2(1/2 + (√3/2)i) = 1 + √3 i。C = (1 + i) + (1 + √3 i) = 2 + (1 + √3)i。
- ア ∠A = 90° の直角三角形 OB = 2OA、∠AOB = 60°。OA = 1 とすると AB² = 1 + 4 − 2·1·2·cos 60° = 3 で、OA² + AB² = 4 = OB²。よって ∠A = 90° の直角三角形（3 辺の比 1 : √3 : 2）。
発展
- エ 点 −2 を中心とする半径 2 の円 2 乗して整理：z z̄ + 2z + 2z̄ = 0 → |z + 2|² = 4。
- イ 0 z⁵ = 1、z ≠ 1。等比数列の和 (z⁵ − 1)/(z − 1) = 0。
- ウ z = ±(1 + i)/√2 i = cos(π/2) + i sin(π/2)。偏角を半分にして cos(π/4) + i sin(π/4) と、その −1 倍。
- 6 √3 + i = 2(cos π/6 + i sin π/6)。ド・モアブルの定理より (√3 + i)ⁿ = 2ⁿ(cos n·π/6 + i sin n·π/6)。sin n·π/6 = 0 となる、つまり n·π/6 が π の整数倍になる最小の n は 6。
- ウ z = ±(√2/2)(1 + i) |z − 1| = |z − i| は点 1 と点 i から等距離の点全体で、直線 y = x。これと単位円 |z| = 1 の交点は (√2/2, √2/2) と (−√2/2, −√2/2)。z = ±(√2/2)(1 + i)。
- ア 原点中心・半径 1 の円（z = ±1 を除く） z は虚数なので z − z̄ ≠ 0。よって 1 − 1/(zz̄) = 0、zz̄ = |z|² = 1。|z| = 1 の円のうち、実数 ±1 を除いた部分。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/hc-05/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
📄 紙で解くなら プリント（レベルと問題数を選べます）。このページをそのまま印刷しても各レベル 10 問と解答が出ます。