仕事と力学的エネルギー（保存則） ── 問題
基礎
- 物体に水平に 3 N の力を加えて、力の向きに 7 m 動かした。この力がした仕事は何 J ですか。
- 質量 10 kg の物体をゆっくりと 5 m 持ち上げた。重力に逆らってした仕事は何 J ですか。重力加速度の大きさを 9.8 m/s² とする。
- 390 J の仕事を 5 秒間で行ったときの仕事率は何 W ですか。
- 質量 6 kg の物体が 1 m/s で運動している。運動エネルギーは何 J ですか。
- 地面を基準として、高さ 7 m にある質量 6 kg の物体の重力による位置エネルギーは何 J ですか。重力加速度の大きさを 9.8 m/s² とする。
- 物体を水平な床の上で引いて動かしたとき、仕事をしない力はどれですか。 （ア 床からの垂直抗力 イ 動摩擦力 ウ すべて仕事をする エ 引く力）
- 物体の速さが 2 倍になると、運動エネルギーはどうなりますか。 （ア 8 倍 イ 2 倍 ウ 4 倍 エ 変わらない）
標準
- ばね定数 200 N/m のばねを自然長から 0.05 m 縮めたとき、弾性力による位置エネルギーは何 J ですか。
- 高さ 1.8 m のなめらかな斜面の上端から、静かに物体を滑らせた。下端での速さは何 m/s ですか。重力加速度の大きさを 10 m/s² とする。
- 静止していた質量 3 kg の物体に一定の力を加え、121.5 J の仕事をした。物体の速さは何 m/s になりましたか。
- 力学的エネルギー保存則が使える条件として正しいものはどれですか。 （ア 常に使える イ 摩擦力や空気抵抗が仕事をしないとき ウ 力がまったくはたらいていないとき エ 物体が等速直線運動をしているときだけ）
- 同じ高さから、なめらかな斜面 A（急）と斜面 B（ゆるやか）で物体を滑らせた。下端での速さについて正しいものはどれですか。 （ア A のほうが速い イ 同じ（高さだけで決まる） ウ B のほうが速い エ 質量による）
- なめらかな曲面上の高さ 6.9 m の点から小球を静かに放した。高さ 1.9 m の点を通過するときの小球の速さは何 m/s ですか。重力加速度の大きさを 10 m/s² とする。
- なめらかな斜面を滑り下りる物体について、出発点からの高さの減少 Δh を横軸、物体の運動エネルギー K を縦軸にとってグラフをかいた（初速度 0）。グラフの形として正しいものはどれですか。 （ア 原点を通る放物線 イ 右下がりの直線 ウ 原点を通る直線 エ Δh によらず一定の水平な直線）
発展
- ばね定数 400 N/m のばねを 0.1 m 縮め、質量 4 kg の小球を押しつけて放した。なめらかな水平面上で小球がばねから離れたときの速さは何 m/s ですか。
- 6 m/s で滑り出した物体が、粗い水平面上を滑って止まった。止まるまでに進んだ距離は何 m ですか。動摩擦係数を 0.2、重力加速度の大きさを 10 m/s² とする。
- 振り子の最下点での速さを求める式として正しいものはどれですか（最高点と最下点の高さの差 h、摩擦なし）。 （ア v ＝ gh イ v ＝ √(gh) ウ v ＝ √(2gh) エ v ＝ 2gh）
- 摩擦のある面を滑って止まった物体の力学的エネルギーはどうなりましたか。 （ア すべて位置エネルギーに変わった イ 止まる前と変わっていない ウ 摩擦力の仕事で減り、熱などに変わった エ 何にも変わらず消えてなくなった）
- 質量 1 kg の物体を、高さ 4 m の粗い斜面の上端から静かに滑らせたところ、下端での速さは 3 m/s だった。この間に摩擦によって失われた力学的エネルギーは何 J ですか。重力加速度の大きさを 9.8 m/s² とする。
仕事と力学的エネルギー（保存則） ── 解答
基礎
- 21 W ＝ Fx ＝ 3 × 7 ＝ 21 J。
- 490 W ＝ mgh ＝ 10 × 9.8 × 5 ＝ 490 J。
- 78 P ＝ W/t ＝ 390 ÷ 5 ＝ 78 W。
- 3.0 K ＝ ½mv² ＝ ½ × 6 × 1² ＝ 3 J。
- 410 U ＝ mgh ＝ 6 × 9.8 × 7 ＝ 411.6 ≒ 410 J。
- ア 床からの垂直抗力 垂直抗力（と重力）は移動の向きと垂直なので仕事は 0。動摩擦力は負の仕事をする。
- ウ 4 倍 K ＝ ½mv² は v² に比例。
標準
- 0.25 U ＝ ½kx² ＝ ½ × 200 × 0.05² ＝ 0.25 J。
- 6.0 力学的エネルギー保存：mgh ＝ ½mv² → v ＝ √(2gh) ＝ √(2 × 10 × 1.8) ＝ 6 m/s（質量によらない）。
- 9.0 された仕事 ＝ 運動エネルギーの変化：121.5 ＝ ½ × 3 × v² → v ＝ 9 m/s。
- イ 摩擦力や空気抵抗が仕事をしないとき 重力や弾性力以外の力（摩擦力・空気抵抗など）が仕事をしないとき使える。摩擦・空気抵抗が仕事をすると力学的エネルギーは減る（熱になる）。垂直抗力・張力は仕事をしないので保存則は使える。
- イ 同じ（高さだけで決まる） 保存則 mgh ＝ ½mv²。v ＝ √(2gh) は経路によらない（到達までの時間は違う）。
- 10 力学的エネルギー保存より ½mv² ＝ mg × (6.9 − 1.9)。v ＝ √(2 × 10 × 5) ＝ 10 m/s。曲面の形には関係しない。
- ウ 原点を通る直線 力学的エネルギー保存より、減った位置エネルギー mgΔh がそのまま K になる。K ＝ mgΔh なので、傾き mg の原点を通る直線。
発展
- 1.0 ½kx² ＝ ½mv² → v ＝ x√(k/m) ＝ 0.1 × √(400/4) ＝ 1 m/s。
- 9.0 運動エネルギーがすべて摩擦の仕事で失われる：½mv² ＝ μ′mg x → x ＝ v²/(2μ′g) ＝ 6²/(2 × 0.2 × 10) ＝ 9 m。
- ウ v ＝ √(2gh) 糸の張力は仕事をしないので保存則：mgh ＝ ½mv²。
- ウ 摩擦力の仕事で減り、熱などに変わった 摩擦力の負の仕事によって減った。力学的エネルギーは保存しないが、熱・音を含めたエネルギー全体は保存する。
- 35 はじめの位置エネルギー mgh ＝ 1 × 9.8 × 4 ＝ 39.2 J、下端の運動エネルギー ½mv² ＝ ½ × 1 × 3² ＝ 4.5 J。差 ＝ 34.7 ≒ 35 J が摩擦で失われた。
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