反比例（式・グラフ） ── 問題
基礎
- y は x に反比例し、x = −6 のとき y = 4 です。比例定数を求めなさい。
- y は x に反比例し、x = 6 のとき y = 6 です。y を x の式で表しなさい。 （ア y = x/36 イ y = x ウ y = 36x エ y = 36/x）
- y = 24/x について、x = −4 のときの y の値を求めなさい。
- y = −30/x について、y = 5 のときの x の値を求めなさい。
- 次のうち、y が x に反比例しているものはどれですか。 （ア y = x − 3 イ y = 3/x ウ y = x/3 エ y = 3x）
- y = 6/x のグラフについて正しい説明はどれですか。 （ア 原点を通る1本のなめらかな曲線（放物線） イ 原点を通らない2本の曲線（双曲線） ウ 原点を通る右上がりの直線 エ x軸と交わる2本の曲線）
標準
- 双曲線 y = a/x が点 (4, −6) を通ります。このグラフの式はどれですか。 （ア y = −3x/2 イ y = 24/x ウ y = −2/x エ y = −24/x）
- 表の x と y の関係として正しいものはどれですか。 x： 1、2、4、8 y：24、12、6、3 （ア 比例で y = 24x イ 比例でも反比例でもない ウ 反比例で y = 24/x エ 比例で y = 3x）
- 表の x と y の関係として正しいものはどれですか。 x： 1、2、4、8 y： 3、6、12、24 （ア 比例で y = 3x イ 反比例で y = 24/x ウ 反比例で y = 3/x エ 比例でも反比例でもない）
- y は x に反比例し、x = 5 のとき y = 3 です。x = −3 のときの y の値を求めなさい。
- y = −6/x のグラフは、座標平面のどこにありますか。 （ア 左上と左下 イ 右上と左下 ウ 左上と右下 エ 右上と右下）
- 面積が 8 cm² の三角形で、底辺を x cm、高さを y cm とします。底辺が 2 cm のとき、高さは何 cm ですか。
- 反比例のグラフが点 (1, 6) を通ります。このグラフ上で、y 座標が 3 である点の x 座標を求めなさい。
発展
- y = 12/x で、x の変域が 2 ≦ x ≦ 6 のとき、y の変域はどれですか。 （ア 1 ≦ y ≦ 6 イ 2 ≦ y ≦ 12 ウ 2 ≦ y ≦ 6 エ 6 ≦ y ≦ 2）
- y = −12/x で、x の変域が −6 ≦ x ≦ −2 のとき、y の変域はどれですか。 （ア 2 ≦ y ≦ 6 イ 6 ≦ y ≦ 2 ウ −2 ≦ y ≦ 6 エ −6 ≦ y ≦ −2）
- 比例 y = 5x のグラフと反比例 y = 45/x のグラフが、x ＞ 0 の範囲で交わる点の x 座標を求めなさい。
- 面積が 24 cm² の長方形の縦を x cm、横を y cm とする。x と y の関係と、x = 3 のときの y の値の組み合わせはどれですか。 （ア y = 24/x、y = 8 イ y = 24x、y = 72 ウ y = x/24、y = 1/8 エ y = 24 − x、y = 21）
- 反比例 y = 12/x のグラフ上の点のうち、x 座標と y 座標がともに整数である点は全部でいくつありますか。
- 比例 y = ax のグラフと反比例 y = b/x のグラフが、点 (2, 3) で交わっています。もう 1 つの交点の座標はどれですか。 （ア (−2, −3) イ (−3, −2) ウ (−2, 3) エ (3, 2)）
反比例（式・グラフ） ── 解答
基礎
- −24 反比例は y = a/x で a = xy。a = −6 × (4) = −24。
- エ y = 36/x a = xy = 6 × (6) = 36。y = 36/x。
- −6 代入：y = 24 ÷ (−4) = −6。
- −6 xy = −30 なので x = −30 ÷ (5) = −6。
- イ y = 3/x 反比例は y = a/x で x が分母にある形。y = x/3 は (1/3)x なので比例。
- イ 原点を通らない2本の曲線（双曲線） 反比例のグラフは双曲線。x = 0 では y が決まらないので原点を通らず、軸には近づくが交わらない。
標準
- エ y = −24/x a = xy = (4) × (−6) = −24。y = −24/x。
- ウ 反比例で y = 24/x x × y = 24 で一定なので反比例。y = 24/x。
- ア 比例で y = 3x y ÷ x = 3 で一定なので比例。y = 3x。
- −5 a = 5 × 3 = 15。y = 15/x に x = −3 を代入：y = 15 ÷ (−3) = −5。
- ウ 左上と右下 a ＜ 0 のとき、x が正なら y は負（右下）、x が負なら y は正（左上）。
- 8 (1/2)xy = 8 より xy = 16、y = 16/x（y は x に反比例）。x = 2 を代入して y = 8 cm。
- 2 y = a/x とすると a = xy = 1 × (6) = 6。y = 6/x に y = 3 を代入して x = 6 ÷ (3) = 2。
発展
- ウ 2 ≦ y ≦ 6 x = 2 で y = 6、x = 6 で y = 2。x が増えると y は減る。小さい順に 2 ≦ y ≦ 6。
- ア 2 ≦ y ≦ 6 x = −6 で y = 2、x = −2 で y = 6。両端を計算して小さい順に 2 ≦ y ≦ 6。
- 3 交点では y が等しい：5x = 45/x → 5x² = 45 → x² = 9 → x ＞ 0 なので x = 3。
- ア y = 24/x、y = 8 縦 × 横 = 面積 なので xy = 24、y = 24/x。x = 3 で y = 8。
- 12 y が整数になるのは、x が 12 の約数のとき。正の約数は 6 個（1、2、3、4、6、12）、それぞれに負の数もあるので 6 × 2 = 12 個。
- ア (−2, −3) y = (3/2)x と y = 6/x。どちらのグラフも原点について点対称なので、もう 1 つの交点は (2, 3) と原点について対称な (−2, −3)。代入すると両方の式を満たす。
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