平面図形（直線・角・作図） ── 問題
基礎
- 「2点 A、B を両端とする、長さのあるまっすぐな線」を表す言葉はどれですか。 （ア 距離 AB イ 半直線 AB ウ 線分 AB エ 直線 AB）
- 点 B を頂点とする角の表し方として正しいものはどれですか。 （ア ∠BAC イ ∠ACB ウ ∠ABC エ ∠CAB）
- 2直線 AB と CD が垂直であることを表す記号はどれですか。 （ア AB ≡ CD イ AB ⊥ CD ウ AB = CD エ AB ∥ CD）
- 作図で使ってよい道具と使い方の組み合わせとして正しいものはどれですか。 （ア 定規は線を引くだけ、長さはコンパスで写す イ 定規の目盛りで長さを測り、コンパスで円をかく ウ コンパスだけを使い、定規は使わない エ 定規の目盛りで長さを測り、分度器で角を測る）
- 線分 AB の垂直二等分線の上にある点 P について、正しいものはどれですか。 （ア PA ＞ PB イ PA ＜ PB ウ PA + PB = AB エ PA = PB）
- 点 P と直線 ℓ の距離とは何ですか。 （ア P から ℓ 上のどこかの点までの長さ イ P から ℓ に引いた垂線の長さ ウ P を通る ℓ の平行線までの長さ エ P から ℓ に引いた線のうち最も長いもの）
- 図は、∠AOB の二等分線 OP を作図したものです。∠AOB = 50° のとき、∠AOP の大きさを求めなさい。
標準
- 線分 AB の垂直二等分線を作図する手順で、正しいものはどれですか。 （ア A を中心に AB を半径とする円をかき、その円と AB の交点を結ぶ イ AB の真ん中を定規の目盛りで測り、その点を通る線を引く ウ A を中心に弧をかき、B を中心に別の半径で弧をかき、交点を結ぶ エ A、B を中心に同じ半径で弧をかき、2つの交点を結ぶ）
- 角の二等分線上の点について正しいものはどれですか。 （ア 角の頂点から等しい距離にある イ 角の2辺の長さが等しい ウ 角の頂点と反対側の点から等しい距離にある エ 角の2辺から等しい距離にある）
- 「2点 A、B から等しい距離にあり、直線 ℓ 上にある点 P」を作図するとき、作図するものはどれですか。 （ア AB の中点を通る ℓ の平行線 イ AB の垂直二等分線と ℓ の交点 ウ A から ℓ への垂線と ℓ の交点 エ ∠AℓB の二等分線と ℓ の交点）
- 「2辺 OA、OB から等しい距離にある点」の集まりはどれですか。 （ア ∠AOB の二等分線 イ O から AB への垂線 ウ 線分 AB の垂直二等分線 エ O を通る AB の平行線）
- 垂直二等分線の作図が正しい理由の説明として適切なものはどれですか。 （ア コンパスの半径を、AB のちょうど半分の長さにしているから イ 弧の交点 P、Q は必ず AB の真上にできるから ウ APBQ がひし形で、対角線が互いを垂直に二等分するから エ P と Q が直線 AB から同じ距離にあるから）
- 円の中心を作図で求める方法として、正しいものはどれですか。 （ア 円周上に 3 点をとって弦を 2 本ひき、2 本の弦がつくる角の二等分線をひく イ 円周上に 2 点をとって弦を 1 本ひき、その弦の両端から垂線を 1 本ずつひく ウ 円周上に 3 点をとって弦を 2 本ひき、それぞれの中点を結んだ線分の中点を求める エ 円周上に 3 点をとって弦を 2 本ひき、それぞれの垂直二等分線の交点を求める）
発展
- 3点 A、B、C から等しい距離にある点を作図するとき、作図するものはどれですか。 （ア ∠A と ∠B の二等分線の交点 イ AB と BC の垂直二等分線の交点 ウ AB、BC、CA の中点を結んだ三角形 エ A、B、C から AB への垂線の交点）
- 45° の角を作図する手順として正しいものはどれですか。 （ア 分度器で 45° を測る イ 垂線を作図して 90° を作り、その角の二等分線を引く ウ 正三角形を作図して、その角を二等分する エ 線分の垂直二等分線を引き、その中点で角を二等分する）
- 線分 AB を折り目として点 P を折り返した点 P′ を作図する。折り目 AB と線分 PP′ の関係として正しいものはどれですか。 （ア AB は PP′ に平行 イ AB は PP′ と一致する ウ AB は PP′ の垂直二等分線 エ PP′ は AB の垂直二等分線）
- 直線 ℓ 上にない点 P から ℓ への垂線を作図する手順で、正しいものはどれですか。 （ア ℓ 上の1点を中心に P を通る円をかき、円と ℓ の交点と P を結ぶ イ P 中心の弧と ℓ の交点 A、B から同じ半径の弧をかき、その交点 Q と P を結ぶ ウ P から ℓ に定規を当て、目で見て直角に見えるところに線を引く エ P を通る ℓ の平行線を引き、その線に垂直な直線を P から ℓ まで引く）
- 直線 ℓ について同じ側に 2 点 A、B があります。ℓ 上に点 P をとり、AP + PB をもっとも短くする作図として正しいものはどれですか。 （ア 線分 AB の垂直二等分線をひき、その直線と ℓ の交点を P とする イ B を ℓ について対称移動した点 B′ をとり、線分 AB′ と ℓ の交点を P とする ウ A から ℓ に垂線をひき、その垂線と ℓ の交点を P とする エ 線分 AB の中点 M をとり、M から ℓ にひいた垂線と ℓ の交点を P とする）
- 点 A で直線 ℓ に接し、点 B を通る円の中心 O を作図します。正しい手順はどれですか。 （ア 線分 AB の垂直二等分線と、直線 ℓ との交点を O とする イ A を通る ℓ の垂線と、線分 AB の垂直二等分線との交点を O とする ウ B から ℓ にひいた垂線と、線分 AB の垂直二等分線との交点を O とする エ A を通る ℓ の平行線と、線分 AB の垂直二等分線との交点を O とする）
平面図形（直線・角・作図） ── 解答
基礎
- ウ 線分 AB 両端があり長さがあるのは線分。直線は両方向に限りなくのびる。
- ウ ∠ABC 角は頂点の文字を真ん中に書く。頂点 B なら ∠ABC（または ∠B）。
- イ AB ⊥ CD 垂直は ⊥、平行は ∥。
- ア 定規は線を引くだけ、長さはコンパスで写す 作図は定規（直線を引くだけ・目盛りは使わない）とコンパスだけ。長さはコンパスで写す。
- エ PA = PB 垂直二等分線上の点は、2点 A、B から等しい距離にある。
- イ P から ℓ に引いた垂線の長さ 点と直線の距離は、その点から直線に引いた垂線の長さ（最短の長さ）。
- 25 OP は ∠AOB の二等分線なので ∠AOP = ∠BOP = ∠AOB ÷ 2 = 50 ÷ 2 = 25°。（O を中心とした弧、その交点 C、D から同じ半径の弧、その交点が P）
標準
- エ A、B を中心に同じ半径で弧をかき、2つの交点を結ぶ 同じ半径で A、B から弧をかくと、交点は A、B から等距離。2交点を結んだ直線が垂直二等分線。定規の目盛りは使わない。
- エ 角の2辺から等しい距離にある 角の二等分線上の点は、角をつくる2つの辺から等しい距離（垂線の長さ）にある。
- イ AB の垂直二等分線と ℓ の交点 「2点から等距離」は AB の垂直二等分線。ℓ 上にあるので、垂直二等分線と ℓ の交点。
- ア ∠AOB の二等分線 「辺から等距離」は角の二等分線。「点から等距離」なら垂直二等分線。
- ウ APBQ がひし形で、対角線が互いを垂直に二等分するから PA = PB = QA = QB（同じ半径）なので APBQ はひし形。ひし形の対角線の性質から PQ ⊥ AB かつ AB の中点を通る。
- エ 円周上に 3 点をとって弦を 2 本ひき、それぞれの垂直二等分線の交点を求める 弦の両端は中心から等しい距離（半径）にあるので、中心は弦の垂直二等分線の上にある。2 本の垂直二等分線の交点が中心。
発展
- イ AB と BC の垂直二等分線の交点 AB の垂直二等分線上の点は A、B から等距離。BC の垂直二等分線上の点は B、C から等距離。交点は3点から等距離（外接円の中心）。
- イ 垂線を作図して 90° を作り、その角の二等分線を引く 90°（垂線）を作ってから角の二等分線で半分にすると 45°。正三角形の角は 60° なので二等分すると 30°。
- ウ AB は PP′ の垂直二等分線 折り返すと P と P′ は折り目について対称。折り目 AB は PP′ の垂直二等分線になる。P から AB への垂線を引き、同じ長さを反対側に写す。
- イ P 中心の弧と ℓ の交点 A、B から同じ半径の弧をかき、その交点 Q と P を結ぶ PA = PB となる A、B をとれば、P は AB の垂直二等分線上にある。A、B から同じ半径の弧の交点 Q も垂直二等分線上。PQ が垂線。
- イ B を ℓ について対称移動した点 B′ をとり、線分 AB′ と ℓ の交点を P とする ℓ は BB′ の垂直二等分線なので PB = PB′。AP + PB = AP + PB′ となり、A、P、B′ が一直線に並ぶとき最短になる。
- イ A を通る ℓ の垂線と、線分 AB の垂直二等分線との交点を O とする 接点 A を通る半径は接線 ℓ に垂直なので、O は A を通る ℓ の垂線上。OA = OB なので、O は線分 AB の垂直二等分線上。この 2 本の交点が O。
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