連立方程式の解き方（加減法・代入法） ── 問題
基礎
- 連立方程式 x + y = −5、x − y = 1 を解きなさい。 （ア x = −3 イ x = −2 ウ x = 2 エ x = −5 undefined x = 1）
- 連立方程式 x + y = −3、3x − y = −17 の解の x の値を求めなさい。
- 連立方程式 y = 4x − 3、3x + y = −31 の解の x の値を求めなさい。
- 連立方程式 3x + 5y = 19、x − y = 1 の解の y の値を求めなさい。
- 連立方程式 2x + 3y = 12、x − y = 1 を加減法で解くとき、x を消すための操作として正しいものはどれですか。 （ア 2式目を 3 倍して 1式目にたす イ 1式目と 2式目をそのままたす ウ 1式目を 2 倍して 2式目からひく エ 2式目を 2 倍して 1式目からひく）
- 代入法で y = 2x − 1 を 3x − y = 9 に代入するとき、正しい式はどれですか。 （ア 3x + 2x − 1 = 9 イ 3x − (2x − 1) = 9 ウ 3x − 2x − 1 = 9 エ 3x − 2x + 1 = 9 は誤り）
標準
- 連立方程式 3x + 3y = −6、x + 2y = −5 の解の x の値を求めなさい。
- 連立方程式 3(x + y) − y = −6、x − 3y = −13 の解の x の値を求めなさい。
- 連立方程式 0.5x + 0.3y = −0.6、x + y = 0 の解の x の値を求めなさい。
- 連立方程式 x/2 + y/3 = 3、x − y = −4 の解の y の値を求めなさい。
- 方程式 2x + y = x + 3y = 7 を解くとき、組む2つの等式として計算しやすいものはどれですか。 （ア 2x + y = x + 3y と 2x + y = 7 イ x + 3y = 7 だけ ウ 2x + y = x + 3y だけ エ 2x + y = 7 と x + 3y = 7）
- 連立方程式 0.9x + 0.2y = 1.2、x − y = −6 の解の x の値を求めなさい。
- 連立方程式 3x + 2y = 7、x − 2y = 1 を加減法で解くとき、「上の式から下の式をひいて 2x = 6」とした。正しい説明はどれですか。 （ア y を消すには 2 式をひく。2x = 6 で正しい イ y を消すには 2 式をひく。ひくと 2x = 8 になる ウ x を消すには 2 式をたす。たすと 4x = 8 になる エ y を消すには 2 式をたす。たすと 4x = 8 になる）
- 連立方程式 x : y = 3 : 2、2x − y = 12 の解はどれですか。 （ア x = 6、y = 4 イ x = 12、y = 8 ウ x = 6、y = 9 エ x = 9、y = 6）
発展
- x = 1、y = 4 が連立方程式 ax + by = −1、bx − ay = −13 の解であるとき、a の値を求めなさい。
- 方程式 2x + y = x + 2y = 12 を解いたときの x の値を求めなさい。
- 連立方程式を加減法で解いていたら 0 = 0 になった。この状況の説明として正しいものはどれですか。 （ア 2つの式が実は同じ式で、解は無数にある イ 解は x = 0、y = 0 ウ 計算ミスなのでやり直す エ 解はない）
- 連立方程式 3x + 2y = 8、2x + 5y = 9 を加減法で解くとき、かける数が小さくて済む消し方はどれですか。 （ア x を消す：1式目 × 2、2式目 × 3（係数 6） イ どちらも同じ ウ x を消す：1式目 × 3、2式目 × 2 エ y を消す：1式目 × 5、2式目 × 2（係数 10））
- x、y についての連立方程式 5x + 2y = 31、x − y = 2 の解が、方程式 ax + 5y = 30 も満たすとき、a の値を求めなさい。
連立方程式の解き方（加減法・代入法） ── 解答
基礎
- イ x = −2 2式をたすと y が消える：2x = −5 + (1) = −4 → x = −2。y = −5 − x = −3。
- −5 y の係数が +1 と −1 なので2式をたす：4x = −20 → x = −5（y = 2）。
- −4 代入法：3x + (4x − 3) = −31 → 7x = −28 → x = −4。
- 2 2式目を 3 倍：3x − 3y = 3。1式目からひく：8y = 16 → y = 2（x = 3）。
- エ 2式目を 2 倍して 1式目からひく x の係数を 2 にそろえる。2式目 × 2 = 2x − 2y = 2。1式目からひくと 5y = 10。
- イ 3x − (2x − 1) = 9 かっこをつけて代入：3x − (2x − 1) = 9 → 3x − 2x + 1 = 9 → x = 8。かっこなしで −2x − 1 とすると符号を落とす。
標準
- 1 y の係数を 6 にそろえる（1式目 × 2、2式目 × 3）。ひいて 3x = 3 → x = 1（y = −3）。
- −4 かっこを外して整理：3x + 2y = −6。2式目と組んで解くと x = −4、y = 3。
- −3 1式目を 10 倍：5x + 3y = −6。2式目 × 3 をひいて 2x = −6 → x = −3（y = 3）。
- 6 1式目の分母をはらう（× 6）：3x + 2y = 18。2式目と組んで解くと x = 2、y = 6。
- エ 2x + y = 7 と x + 3y = 7 A = B = C の形は、A = C と B = C を組むと計算が楽（両方に数 7 がある）。
- 0 1 つ目の式を 10 倍して 9x + 2y = 12。2 つ目の式の両辺に 2 をかけてたすと y が消え、11x = 0、x = 0（y = 6）。
- エ y を消すには 2 式をたす。たすと 4x = 8 になる y の係数が +2 と −2 で符号が反対なので、たすと消える。(3x + 2y) + (x − 2y) = 4x、7 + 1 = 8。ひくと 2x + 4y = 6 になり y は残る。
- エ x = 9、y = 6 比例式は「外側の積 = 内側の積」で 2x = 3y。y = 2x/3 を 2x − y = 12 に代入して (4/3)x = 12、x = 9、y = 6。x = 6、y = 4 は比は合うが 2x − y = 8 で合わない。
発展
- 3 解を代入して a、b の連立方程式にする：a + 4b = −1、b − 4a = −13。これを解くと a = 3、b = −1。
- 4 2x + y = 12 と x + 2y = 12 を組む。解くと x = 4、y = 4。
- ア 2つの式が実は同じ式で、解は無数にある 一方がもう一方の何倍かになっていて同じ式。文字を消すと 0 = 0 になり、解は無数（例：x + y = 2 と 2x + 2y = 4）。0 = 3 のように矛盾すれば解なし。
- ア x を消す：1式目 × 2、2式目 × 3（係数 6） x の係数 3 と 2 の最小公倍数は 6、y の係数 2 と 5 は 10。6 にそろえる x 消去のほうが数が小さい。
- 3 まず a をふくまない 2 式を解いて x = 5、y = 3。これを ax + 5y = 30 に代入して 5a + 15 = 30、a = 3。
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