連立方程式の利用 ── 問題
基礎
- 1個 120 円のりんごと 1個 60 円のみかんを合わせて 7 個買い、代金は 540 円でした。りんごは何個買いましたか。
- 2 つの数があり、和は 18、差は 16 です（大きいほうから小さいほうをひく）。大きいほうの数を求めなさい。
- 「りんご x 個とみかん y 個を合わせて 12 個買い、代金が 1160 円（りんご 120 円、みかん 80 円）」の連立方程式として正しいものはどれですか。 （ア x + y = 12、120x + 80y = 1160 イ x + y = 1160、120x + 80y = 12 ウ x + y = 12、200(x + y) = 1160 エ xy = 12、120x + 80y = 1160）
- 10 km を、時速 4 km で x km 歩き、時速 6 km で y km 走って、全体で 2 時間かかった。時間についての式はどれですか。 （ア 4x + 6y = 10 イ 4x + 6y = 2 ウ x/4 + y/6 = 2 エ x + y = 2）
- 5 % の食塩水 x g と 10 % の食塩水 y g を混ぜて 8 % の食塩水 500 g を作る。食塩の量についての式はどれですか。 （ア x + y = 500 イ 0.05x + 0.1y = 40 ウ 5x + 10y = 8 エ 0.05x + 0.1y = 500）
- 「昨年の男子 x 人が今年 10 % 増えた」。今年の男子の人数を表す式はどれですか。 （ア 10x イ 0.1x ウ x + 10 エ 1.1x）
標準
- A から B まで 22 km の道のりを、はじめは時速 5 km で歩き、途中から時速 12 km で走ったら、全体で 3 時間かかりました。歩いた道のりは何 km ですか。
- 6 % の食塩水と 10 % の食塩水を混ぜて、8 % の食塩水を 200 g 作ります。6 % の食塩水は何 g 必要ですか。
- 2 けたの整数があります。十の位と一の位の数の和は 8 で、十の位と一の位を入れかえた数は、もとの数より 36 大きくなります。もとの整数を求めなさい。
- ある中学の生徒数は、昨年は男女合わせて 800 人でした。今年は男子が 20 % 増え、女子が 10 % 減って、合計 840 人になりました。昨年の男子は何人ですか。
- 増減の問題で「昨年」の人数を文字にする理由として正しいものはどれですか。 （ア どちらを文字にしても、式の立てやすさはまったく同じだから イ 今年の人数は問題文に書いてあることが多いから ウ 昨年のほうがいつも数が小さく、計算が楽だから エ 増減の割合は昨年が基準なので、式が立てやすいから）
- 定価で品物 A と品物 B を 1 個ずつ買うと 1400 円です。A を定価の 30 % 引き、B を定価の 10 % 引きで 1 個ずつ買うと 1140 円でした。A の定価は何円ですか。
- ある部の部員は、昨年は男女合わせて 40 人でした。今年は男子が 20 % 増え、女子が 10 % 減ったので、全体で 2 人増えました。昨年の男子を x 人、女子を y 人として連立方程式をつくるとき、正しいものはどれですか。 （ア x + y = 40、1.2x − 0.9y = 2 イ x + y = 40、0.2x + 0.1y = 2 ウ x + y = 40、0.2x − 0.1y = 2 エ x + y = 42、0.2x − 0.1y = 2）
発展
- A 町から B 町まで 8 km を、はじめ時速 4 km で歩き、途中から時速 12 km で走ったら、60 分かかりました。走った道のりは何 km ですか。
- 「昨年の男子 x 人、女子 y 人」とおいて解いたら x = 200、y = 300 になった。問題で問われているのが「今年の男子の人数（10 % 増）」のとき、答えはどれですか。 （ア 210 人 イ 200 人 ウ 300 人 エ 220 人）
- 食塩水の問題を解いたら、5 % と 10 % を混ぜたのに「8 % の食塩水」の量が負の数になった。判断として正しいものはどれですか。 （ア 10 % の食塩水は使わなかったと解釈して答える イ 立式か計算に誤りがあるはずなので見直す ウ 問題そのものが間違っていると考える エ 負の量でも方程式の解なので、そのまま答える）
- ある店で、A 商品 1 個と B 商品 4 個を買うと 640 円、A 商品 3 個と B 商品 1 個を買うと 490 円です。A 商品 1 個の値段は何円ですか。
- A 町から峠をこえて B 町まで行きます。上り坂は時速 3 km、下り坂は時速 5 km で進むと、A 町から B 町までは 216 分、B 町から A 町までは 232 分かかりました。A 町から峠までの道のりは何 km ですか。
- ある列車が、長さ 210 m の鉄橋を渡り始めてから渡り終えるまでに 24 秒かかりました。また、長さ 315 m のトンネルに列車全体がかくれていた時間は 11 秒でした。列車の速さは一定とします。列車の長さは何 m ですか。
連立方程式の利用 ── 解答
基礎
- 2 りんご x 個、みかん y 個。x + y = 7、120x + 60y = 540。解くと x = 2、y = 5。答え 2 個。
- 17 大きいほうを x、小さいほうを y。x + y = 18、x − y = 16。たして 2x = 34 → x = 17（y = 1）。
- ア x + y = 12、120x + 80y = 1160 個数の関係 x + y = 12、代金の関係 120x + 80y = 1160。2つの文がそのまま2本の式。
- ウ x/4 + y/6 = 2 時間 = 道のり ÷ 速さ。歩き x/4 時間、走り y/6 時間、合計 2 時間。
- イ 0.05x + 0.1y = 40 食塩の量 = 食塩水 × 濃度。0.05x + 0.1y = 0.08 × 500 = 40。濃度どうしは足せない。
- エ 1.1x 10 % 増えた後は 1 + 0.1 = 1.1 倍。0.1x は「増えた分」。
標準
- 10 歩き x km、走り y km。x + y = 22、x/5 + y/12 = 3。解くと x = 10、y = 12。答え 10 km（歩き 2 時間・走り 1 時間）。
- 100 6 % を x g、10 % を y g。x + y = 200、0.06x + 0.1y = 0.08 × 200 = 16。解くと x = 100、y = 100。答え 100 g。
- 26 十の位 x、一の位 y。x + y = 8、(10y + x) − (10x + y) = 36 → 9(y − x) = 36 → y − x = 4。解くと x = 2、y = 6。答え 26。
- 400 昨年の男子 x 人、女子 y 人。x + y = 800、1.2x + 0.9y = 840。解くと x = 400、y = 400。答え 400 人。
- エ 増減の割合は昨年が基準なので、式が立てやすいから 「10 % 増」は昨年の 1.1 倍。基準の年を文字にすると、今年は 1.1x と表せる。今年を文字にすると 1.1 で割る形になり面倒。
- 600 A の定価を x 円、B の定価を y 円とすると x + y = 1400、0.7x + 0.9y = 1140。解いて x = 600、y = 800。
- ウ x + y = 40、0.2x − 0.1y = 2 もとにするのは昨年の人数。増えた男子は 0.2x 人、減った女子は 0.1y 人で、差し引き 2 人増えたので 0.2x − 0.1y = 2。解くと x = 20、y = 20。
発展
- 6 単位を時間にそろえる：60 分 = 1 時間。歩き x km、走り y km。x + y = 8、x/4 + y/12 = 1。解くと y = 6（x = 2）。答え 6 km。
- エ 220 人 x は昨年の人数。今年は 1.1 × 200 = 220 人。何を問われているかを最後に読み返す。
- イ 立式か計算に誤りがあるはずなので見直す 量が負になることはない。解の吟味で条件に合わなければ、立式か計算を疑う。
- 120 A を x 円、B を y 円。x + 4y = 640、3x + y = 490。解くと x = 120、y = 130。答え 120 円。
- 6 A 町から峠までを x km、峠から B 町までを y km とする。行きは x km が上り、y km が下りで x/3 + y/5 = 216/60。帰りは上りと下りが入れかわり y/3 + x/5 = 232/60。解いて x = 6、y = 8。
- 150 列車の長さを x m、速さを秒速 y m とする。渡り始めから渡り終えるまでに進むのは（鉄橋 + 列車）で 210 + x = 24y。全体がかくれているあいだに進むのは（トンネル − 列車）で 315 − x = 11y。解いて x = 150、y = 15。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m2-05/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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