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小テスト ／ m2-09

平行線と角・多角形の内角外角

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平行線と角・多角形の内角外角 ── 問題

基礎

  1. 三角形の 2 つの内角が 63°、41° のとき、残りの内角は何度ですか。
  2. 三角形の 2 つの内角が 47°、73° のとき、残りの頂点の外角は何度ですか。
  3. 9 角形の内角の和は何度ですか。
  4. 正10角形の 1 つの外角は何度ですか。
  5. 2直線が交わってできる、向かい合った角について正しいものはどれですか。　（ア つねに 90°　イ 平行線のときだけ等しい　ウ 和が 180° になる　エ つねに等しい（対頂角））
  6. 2直線 ℓ、m に 1 本の直線が交わっている。「錯角が等しい」ことから言えることはどれですか。　（ア 何も言えない　イ ℓ ∥ m　ウ ℓ ⊥ m　エ ℓ と m は交わる）
  7. 図の △ABC で、辺 AB を B の方向に延長した線上に点 D をとります。∠x の大きさを求めなさい。

標準

  1. 平行な 2 直線 ℓ、m の間に折れ線があり、ℓ との角が 30°、m との角が 40°（どちらも折れ線の内側の角）です。折れ点の角 x は何度ですか。
  2. 1 つの内角が 150° の正多角形は正何角形ですか。
  3. 内角の和が 1260° の多角形は何角形ですか。
  4. 二等辺三角形の頂角が 70° のとき、底角は何度ですか。
  5. △ABC で ∠A = 35° のとき、∠B と ∠C の外角の和は何度ですか。
  6. 平行線 ℓ ∥ m と 1 本の直線が交わってできる同側内角（2 直線の内側で同じ側にある 2 角）について正しいものはどれですか。　（ア 和が 90°　イ 等しい　ウ 和が 180°　エ 差が 90°）
  7. 図で、ℓ ∥ m のとき、∠x の大きさを求めなさい。
  8. 十角形の対角線は、全部で何本ありますか。　（ア 40 本　イ 70 本　ウ 35 本　エ 45 本）

発展

  1. △ABC で ∠A = 60° です。∠B と ∠C の二等分線の交点を I とするとき、∠BIC は何度ですか。
  2. くぼんだ四角形（ブーメラン型）で、くぼんでいない 3 つの頂点の角が 23°、24°、46° のとき、くぼんだ点の角（内側の角）は何度ですか。
  3. 星形（五芒星）の 5 つの先端の角の和はいくらですか。　（ア 180°　イ 540°　ウ 900°　エ 360°）
  4. 三角形の内角の和が 180° であることの説明で使う補助線と性質の組み合わせはどれですか。　（ア 頂点を通る対辺の平行線を引き、錯角を使う　イ 外接円をかき、円周角の定理を使う　ウ 頂点から対辺に垂線を引き、直角三角形 2 つに分ける　エ 3 辺の中点を結び、合同な 4 つの三角形に分ける）
  5. 1 つの外角の大きさが、1 つの内角の大きさの 1/8 である正多角形は、正何角形ですか。

平行線と角・多角形の内角外角 ── 解答

基礎

  1. 76　内角の和は 180°。180 − (63 + 41) = 76°。
  2. 120　外角 = 隣り合わない 2 つの内角の和 = 47 + 73 = 120°。
  3. 1260　1 つの頂点から対角線を引くと 7 個の三角形に分かれる。180 × 7 = 1260°。
  4. 36　外角の和はいつも 360°。360 ÷ 10 = 36°。
  5. エ　つねに等しい（対頂角）　対頂角はつねに等しい。平行かどうかは関係ない。
  6. イ　ℓ ∥ m　錯角（または同位角）が等しければ 2 直線は平行。逆に平行なら錯角は等しい。
  7. 125　三角形の外角は、それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい。∠x = ∠A + ∠C = 50 + 75 = 125°。

標準

  1. 70　折れ点を通って ℓ に平行な線を引く。錯角で 30° と 40° が折れ点に移り、x = 30 + 40 = 70°。
  2. 12　外角は 180 − 150 = 30°。外角の和 360 ÷ 30 = 12。正12角形。
  3. 9　180 × (n − 2) = 1260 → n − 2 = 7 → n = 9。
  4. 55　底角は 2 つで等しい。(180 − 70) ÷ 2 = 55°。
  5. 215　∠B の外角 + ∠C の外角 = (180 − ∠B) + (180 − ∠C) = 360 − (∠B + ∠C) = 360 − (180 − 35) = 215°。
  6. ウ　和が 180°　錯角が等しいことと、一直線上の角の和が 180° であることから、同側内角の和は 180°。
  7. 85　点 P を通り ℓ に平行な線を引くと、錯角で ∠x は 65° と 20° に分かれる。65 + 20 = 85°。
  8. ウ　35 本　1 つの頂点からは、自分と両どなりの頂点を除く 7 本の対角線がひける。10 × 7 = 70 本は同じ対角線を両端から 2 回数えているので、2 でわって 35 本。45 本は辺もふくめた数。

発展

  1. 120　∠IBC + ∠ICB = (∠B + ∠C)/2 = (180 − 60)/2 = 60。∠BIC = 180 − 60 = 120°（= 90 + 60/2）。
  2. 93　くぼんだ点と向かいの頂点を結ぶと 2 つの三角形。外角を 2 回使って、くぼみの角 = 23 + 24 + 46 = 93°。
  3. ア　180°　三角形の外角を使って 5 つの角を 1 つの三角形に集めると、内角の和 180° になる。
  4. ア　頂点を通る対辺の平行線を引き、錯角を使う　頂点 A を通って BC に平行な直線を引くと、錯角で ∠B と ∠C が A のまわりに移り、3 角が一直線（180°）に並ぶ。
  5. 18　内角 + 外角 = 180° で、内角は外角の 8 倍なので、外角 = 180 ÷ (8 + 1) = 20°。外角の和は 360° なので、360 ÷ 20 = 18。正18角形。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m2-09/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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