中学数学英語理科社会国語高校数学英語理科社会国語

小テスト ／ m2-13

平行線と面積

← 解説に戻る　数学の単元一覧

レベルを選ぶ（最大10問。数を変えた問題が毎回出ます）

パソコンなら 1〜5 キーで選択、Enter で次へ

平行線と面積 ── 問題

基礎

  1. 底辺 BC が共通で、頂点 A、A′ がともに BC に平行な直線 ℓ 上にあるとき、△ABC と △A′BC について正しいものはどれですか。　（ア 合同である　イ 面積が等しい　ウ 周の長さが等しい　エ 相似である）
  2. 平行四辺形 ABCD の辺 AD 上の点 P について、△PBC の面積は平行四辺形の何倍ですか。　（ア P の位置によって変わる　イ 1/4 倍　ウ 1/3 倍　エ 1/2 倍）
  3. 平行四辺形 ABCD の面積が 18 cm² のとき、辺 AD 上の点 P に対する △PBC の面積は何 cm² ですか。
  4. 四角形 ABCD を面積の等しい三角形に直すとき、頂点 D を消すために引く直線はどれですか。　（ア D を通り AC に平行な直線　イ A と C を結ぶ直線だけ　ウ D を通り BC に垂直な直線　エ D を通り AB に平行な直線）
  5. △ABC の頂点 A を通り、面積を 2 等分する直線が通る点はどれですか。　（ア ∠A の二等分線と BC の交点　イ A から BC への垂線の足　ウ 辺 AB の中点　エ 辺 BC の中点）
  6. 台形 ABCD（AD ∥ BC）で、△ABC と面積が等しい三角形はどれですか。　（ア △ABD　イ △ACD　ウ △DBC　エ △ABO（O は対角線の交点））

標準

  1. 台形 ABCD（AD ∥ BC）の対角線の交点を O とする。面積が等しい組み合わせはどれですか。　（ア △ABO と △AOD　イ △AOD と △OBC　ウ △ABO と △DCO　エ △ABO と △OBC）
  2. 3 点 A(2, 9)、B(0, 0)、C(4, 0) があります。y 軸上の点 P（y ＞ 0）で △PBC = △ABC となる P の y 座標を求めなさい。
  3. 3 点 A(4, 18)、B(0, 0)、C(3, 0) があります。直線 y = 3x 上の点 Q（x ＞ 0）で △QBC = △ABC となる Q の x 座標を求めなさい。
  4. 辺 BC 上の点 P を通って △ABC の面積を 2 等分する直線を引く手順として正しいものはどれですか。　（ア P を通り BC に垂直な直線を引き、それを 2 等分の境界にする　イ A と P を結び、線分 AP をそのまま境界の直線にする　ウ AB の中点 N をとり、P と N を結んだ直線を境界にする　エ BC の中点 M を通る AP の平行線と AB の交点 Q を P と結ぶ）
  5. 平行四辺形 ABCD の内部の点 P について、正しい関係はどれですか。　（ア △PAB + △PCD = 平行四辺形の半分　イ △PAB = △PCD　ウ △PAB + △PBC = 平行四辺形の半分　エ △PAB + △PCD = 平行四辺形全体）
  6. 平行四辺形 ABCD の対角線 BD 上に点 E をとります。E の位置によらず、△ABE と面積が等しい三角形はどれですか。　（ア △ABD　イ △CBE　ウ △ADE　エ △CDE）

発展

  1. O を原点、A(3, 1)、B(1, 1) とします。O を通り △OAB の面積を 2 等分する直線が通る点は AB の中点です。その中点の x 座標を求めなさい。
  2. △ABC = △A′BC で、A と A′ が BC について同じ側にあるとき、いえることはどれですか。　（ア AB = A′B　イ AA′ ∥ BC　ウ A = A′　エ AA′ ⊥ BC）
  3. 折れ線 PQR で分かれた 2 つの土地の境界を、面積を変えずに 1 本の直線に直す方法はどれですか。　（ア P と R を直線で結び、PR をそのまま新しい境界にする　イ Q を通る PR の平行線と辺の交点 S をとり、PS を境界にする　ウ Q から PR に垂線を下ろし、その垂線を新しい境界にする　エ PR の中点と Q を結び、それを新しい境界にする）
  4. 3 点 A(1, 4)、B(0, 0)、C(4, 0) について、△PBC = △ABC となる y 軸上の点 P をすべて挙げたものはどれですか。　（ア (0, 8) のみ　イ (0, 4) のみ　ウ (0, 4) と (0, −4)　エ (0, 1) と (0, −1)）
  5. 3 点 A(−1, 6)、B(0, 0)、C(4, 0) があります。点 A を通り、△ABC の面積を 2 等分する直線の傾きを求めなさい。
  6. 原点 O と、A(4, 0)、B(3, 5)、C(0, 5) を頂点とする四角形 OABC があります。点 B を通り直線 AC に平行な直線が x 軸と交わる点を E とすると、四角形 OABC と △OEC の面積は等しくなります。点 E の x 座標を求めなさい。
  7. △ABC の辺 AB 上に AP : PB = 1 : 2 となる点 P、辺 BC 上に BQ : QC = 3 : 1 となる点 Q をとります。△PBQ の面積は、△ABC の面積の何倍ですか。　（ア 1/4 倍　イ 1/2 倍　ウ 3/4 倍　エ 2/3 倍）

平行線と面積 ── 解答

基礎

  1. イ　面積が等しい　底辺が共通で高さ（ℓ と BC の距離）も同じなので面積が等しい。形は違ってよい。
  2. エ　1/2 倍　底辺 BC、高さは AD と BC の距離で一定。平行四辺形の半分。P がどこでも同じ。
  3. 9　平行四辺形の半分。18 ÷ 2 = 9 cm²。
  4. ア　D を通り AC に平行な直線　対角線 AC を引き、D を通って AC に平行な直線を引く。BC の延長との交点 E で △ACD = △ACE。
  5. エ　辺 BC の中点　BC の中点 M で底辺が半分になり、高さは共通なので面積も半分。
  6. ウ　△DBC　底辺 BC 共通、A と D が BC に平行な AD 上にあるので △ABC = △DBC。

標準

  1. ウ　△ABO と △DCO　△ABC = △DBC から共通の △OBC を除くと △ABO = △DCO。対角線で分かれた左右が等しい。
  2. 9　底辺 BC が x 軸上で共通なので、A と同じ高さ y = 9 にあれば面積が等しい。P(0, 9)。
  3. 6　高さが A と同じ y = 18 になればよい。y = 3x と y = 18 の交点：x = 18 ÷ 3 = 6。Q(6, 18)。
  4. エ　BC の中点 M を通る AP の平行線と AB の交点 Q を P と結ぶ　AM で 2 等分してから、△APQ = △APM（等積変形）で通る点を M から Q に移す。
  5. ア　△PAB + △PCD = 平行四辺形の半分　P を通り AB に平行な線で分けると、△PAB と △PCD の高さの和が AB と CD の距離になり、合計は半分。
  6. イ　△CBE　A と C は対角線 BD から等しい距離にある（△ABD ≡ △CDB で高さが等しい）。底辺 BE が共通で高さが等しいので △ABE = △CBE。

発展

  1. 2　頂点 O から対辺 AB の中点へ引くと 2 等分。中点は ((x の平均), (y の平均)) = (2, 1)。
  2. イ　AA′ ∥ BC　底辺が共通で面積が等しいなら高さが等しい。同じ側で BC からの距離が等しいので AA′ ∥ BC（性質の逆）。
  3. イ　Q を通る PR の平行線と辺の交点 S をとり、PS を境界にする　△PQR = △PSR（底辺 PR 共通、Q・S が PR に平行な直線上）なので、境界を PS に変えても面積は変わらない。
  4. ウ　(0, 4) と (0, −4)　高さが 4 であればよく、x 軸の上側 y = 4 と下側 y = −4 の両方で面積が等しい。
  5. −2　BC の中点 M(2, 0) を通ればよい（△ABM と △ACM は、底辺 BM = MC で高さも等しい）。傾きは (6 − 0) ÷ (−1 − (2)) = −2。
  6. 7　直線 AC の傾きは −5/4。B を通り傾き −5/4 の直線 y − 5 = (−5/4)(x − 3) に y = 0 を代入して x = 7。AC ∥ BE なので △ACB = △ACE、四角形 OABC = △OAC + △ACB = △OEC になる。
  7. イ　1/2 倍　△PBC は △ABC と高さが共通で、底辺 PB が AB の 2/3 なので 2/3 倍。△PBQ は △PBC と高さが共通で、底辺 BQ が BC の 3/4 なので、(2/3) × (3/4) = 1/2 倍。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m2-13/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

📄 紙で解くなら プリント（レベルと問題数を選べます）。このページをそのまま印刷しても各レベル 10 問と解答が出ます。