二次方程式（因数分解・平方根・解の公式） ── 問題
基礎
- 二次方程式 (x − 8)(x + 4) = 0 の 2 つの解のうち、大きいほうを答えなさい。
- 二次方程式 x² + 2x − 48 = 0 の 2 つの解のうち、小さいほうを答えなさい。
- 二次方程式 x² = 16 の解のうち、正のほうを答えなさい。
- 二次方程式 (x − 2)² = 1 の 2 つの解のうち、大きいほうを答えなさい。
- 二次方程式 x² + 5x = 0 の解はどれですか。 （ア x = 5 イ x = −5 ウ x = 0, 5 エ x = 0, −5）
標準
- 二次方程式 x² + 2x − 4 = 0 を解の公式で解きなさい。 （ア x = 2√5 − 2（と ± のもう一方） イ x = √5 − 1（と ± のもう一方） ウ x = 1 + √5（と ± のもう一方） エ x = (√5 − 1)/2（と ± のもう一方））
- 二次方程式 x² + 3x − 5 = 0 について、解の公式の √ の中（b² − 4ac）の値を求めなさい。
- 二次方程式 3x² − 18x + 15 = 0 の 2 つの解のうち、大きいほうを答えなさい。
- 二次方程式 (x − 5)(x + 9) = −48 の 2 つの解のうち、大きいほうを答えなさい。
- 2x² − 5x + 1 = 0 を解の公式で解くとき、a、b、c の値の組み合わせはどれですか。 （ア a = 2、b = −5、c = −1 イ a = 1、b = −5、c = 2 ウ a = 2、b = 5、c = 1 エ a = 2、b = −5、c = 1）
- x² − 4x − 2 = 0 の解として正しいものはどれですか。 （ア x = (4 ± 2√6)/2 で止める イ x = 2 ± √6 ウ x = 2 ± 2√6 エ x = 4 ± √24）
- 二次方程式 x² + ax + b = 0 の 2 つの解が −4 と 3 のとき、a の値を求めなさい。
- 二次方程式 x² = 3x を、両辺を x でわって x = 3 と答えるのは誤りです。その理由として正しいものはどれですか。 （ア 両辺を x でわると x = 3 ではなく x = 1/3 になり、計算がまちがっているから イ x = 0 のときは x でわれないので、x = 0 という解を落としてしまうから ウ x² = 3x は一次方程式なので、二次方程式の解き方を使ってはいけないから エ 右辺を移項して x² − 3x = 0 にすると、解が 3 つになるから）
発展
- 二次方程式 x² + ax + 2 = 0 の解の 1 つが x = −1 であるとき、a の値を求めなさい。
- 二次方程式 (x − 5)² + 4(x − 5) = 0 の 2 つの解のうち、大きいほうを答えなさい。
- (x + 2)(x − 1) = 4 を「x + 2 = 4 または x − 1 = 4」として解くのが誤りである理由はどれですか。 （ア 2 次方程式は解の公式を使わなければならないから イ A = 0 または B = 0 といえるのは AB = 0 のときだけだから ウ x + 2 = 4 は正しいが、x − 1 = 4 が誤りだから エ かっこの順序が逆で、(x − 1)(x + 2) と書くべきだから）
- x² + 6x + 2 = 0 を平方完成で解いた結果はどれですか。 （ア x = −3 ± √7 イ x = −6 ± √7 ウ x = 3 ± √7 エ x = −3 ± √11）
- 二次方程式 x² + ax − 30 = 0 の解の 1 つが −6 のとき、もう 1 つの解を求めなさい。
- x についての二次方程式 x² − 9x + k = 0 の 2 つの解がどちらも正の整数になるとき、k がとりうる値のうち最も大きいものを求めなさい。
二次方程式（因数分解・平方根・解の公式） ── 解答
基礎
- 8 x − 8 = 0 または x + 4 = 0。x = 8, −4。大きいほうは 8。符号が逆になることに注意。
- −8 因数分解：(x + 8)(x − 6) = 0 → x = −8, 6。小さいほうは −8。
- 4 x は 16 の平方根：x = ±4。正のほうは 4。
- 3 x − 2 = ±1 → x = 2 ± 1 → x = 3, 1。大きいほうは 3。
- エ x = 0, −5 x(x + 5) = 0 → x = 0 または x = −5。x で割ると x = 0 の解が消えるので、x でくくる。
標準
- イ x = √5 − 1（と ± のもう一方） a = 1、b = 2、c = −4。x = (−2 ± √(4 − 4 × 1 × (−4))) / 2 = (−2 ± √20) / 2。√5 − 1 と、± を − にしたもの。
- 29 a = 1、b = 3、c = −5。b² − 4ac = (3)² − 4 × 1 × (−5) = 9 + 20 = 29。c が負なら −4ac は正になる。
- 5 共通因数 3 でくくると 3(x² − 6x + 5) = 0 → 3(x − 1)(x − 5) = 0 → x = 1, 5。大きいほうは 5。
- −1 右辺が 0 でないので因数ごとに = にはできない。展開して整理：x² + 4x + 3 = 0 → (x + 3)(x + 1) = 0 → x = −3, −1。大きいほうは −1。
- エ a = 2、b = −5、c = 1 ax² + bx + c = 0 に合わせて、符号ごと読む。b = −5。
- イ x = 2 ± √6 x = (4 ± √(16 + 8))/2 = (4 ± 2√6)/2。分子の両方の項を 2 で割って 2 ± √6。
- 1 解が −4 と 3 なので (x + 4)(x − 3) = 0。展開すると x² + x − 12 = 0。x の係数を比べて a = 1（b = −12）。
- イ x = 0 のときは x でわれないので、x = 0 という解を落としてしまうから x² − 3x = 0 → x(x − 3) = 0 → x = 0、3。x でわれるのは x ≠ 0 のときだけなので、わってしまうと x = 0 の解が消える。
発展
- 3 x = −1 を代入：1 − a + 2 = 0 → a = 3。もう 1 つの解は x = −2。
- 5 x − 5 = M とおく：M² + 4M = 0 → M(M + 4) = 0 → M = 0, −4。x = 5, 1。大きいほうは 5。
- イ A = 0 または B = 0 といえるのは AB = 0 のときだけだから 積が 4 になる組は無数（2×2、1×4、8×0.5…）。右辺を 0 に整理してから因数分解する。
- ア x = −3 ± √7 x² + 6x = −2 → 両辺に 9 をたす → (x + 3)² = 7 → x = −3 ± √7。
- 5 x = −6 を代入：36 − 6a − 30 = 0 → a = 1。x² + x − 30 = 0 → (x + 6)(x − 5) = 0。もう 1 つの解は 5。
- 20 2 つの解を m、n（正の整数）とすると (x − m)(x − n) = x² − (m + n)x + mn なので m + n = 9、k = mn。和が 9 の正の整数の組で積がいちばん大きいのは 4 と 5。k = 4 × 5 = 20。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m3-06/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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