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小テスト ／ m3-09

y=ax² の変化の割合・利用

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y=ax² の変化の割合・利用 ── 問題

基礎

  1. y = x² で、x の値が 4 から 6 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
  2. y = −x² で、x の値が −4 から −1 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
  3. y = 2x² の変化の割合について正しいものはどれですか。　（ア a と同じでつねに 2　イ x の区間によって変わる　ウ つねに 0（変わらない）　エ つねに 4（2 × 2））
  4. y = ax² で、x が p から q まで増加するときの変化の割合を表す式はどれですか。　（ア apq　イ a(q − p)　ウ a(p + q)　エ a(p − q)）
  5. 物を落として x 秒後に落ちた距離を y m とすると y = 5x² です。3 秒後までに落ちた距離は何 m ですか。
  6. y = 3x² で、x が 3 から 4 まで増加するときの y の増加量を求めなさい。

標準

  1. y = ax² で、x が 3 から 5 まで増加するときの変化の割合が −24 です。a の値を求めなさい。
  2. y = ax² で、x が 3 から 4 まで増加するときの変化の割合が、一次関数 y = 7x − 1 の変化の割合と等しいです。a の値を求めなさい。
  3. 物を落として x 秒後に落ちた距離を y m とすると y = 5x² です。1 秒後から 4 秒後までの平均の速さは毎秒何 m ですか。
  4. 自動車の制動距離 y m は速さ x km/時 の 2 乗に比例し、時速 20 km のとき 2 m でした。時速 40 km のときの制動距離は何 m ですか。
  5. 記述問題で「y = 2x² で x が 1 から 4 まで増加するときの変化の割合」を求めるとき、途中式として適切なものはどれですか。　（ア 一次関数と同じく、傾き 2 と書く　イ (32 − 2) ÷ (4 − 1) = 10 と書く　ウ 公式 a(p + q) で 2(1 + 4) = 10 とだけ書く　エ 式は書かずに、答えの 10 だけを書く）
  6. 斜面の上の地点 O からボールを静かに転がすと、x 秒間に転がる距離 y m は y = 2x² で表されます。ボールを転がすと同時に、O の横を同じ向きに毎秒 4 m の一定の速さで走る人が通りすぎました。ボールが人に追いつくのは何秒後ですか。
  7. 物を落とすと、落とし始めてから x 秒間に落ちる距離 y m は y = 5x² で表されます。落とし始めてから t 秒後から (t + 1) 秒後までの 1 秒間に 45 m 落ちました。t の値を求めなさい。
  8. 自動車の制動距離 y m は、速さ（時速 x km）の 2 乗に比例します。時速 20 km のときの制動距離が 3 m でした。制動距離が 12 m になるのは時速何 km のときですか。
  9. 関数 y = ax²（a ≠ 0）で、x が 1 から 3 まで増加するときの変化の割合と、x が −3 から −1 まで増加するときの変化の割合を比べた結果として正しいものはどれですか。　（ア y の増加量がどちらも 0 なので、どちらも 0 になる　イ グラフが y 軸について対称なので、2 つは等しくなる　ウ 絶対値は等しく、符号が反対になる　エ x が −3 から −1 のほうが、絶対値が 2 倍になる）

発展

  1. 放物線 y = x² 上の 2 点 A（x 座標 −3）、B（x 座標 −1）を通る直線の式はどれですか。　（ア y = −4x + 1　イ y = −4x + 3　ウ y = 4x − 3　エ y = 2x − 3　undefined y = −4x − 3）
  2. y = x² で、x が 3 から 3 + h まで増加するときの変化の割合が 9 でした。h の値を求めなさい。
  3. y = −x² で、x が −3 から −1 まで増加するときの変化の割合はどれですか。　（ア 4　イ −4　ウ −2　エ 2）
  4. y = 5x² で表される落下で、「4 秒後から 5 秒後の 1 秒間に落ちる距離」はどれですか。　（ア 125 m　イ 45 m　ウ 25 m　エ 80 m）

y=ax² の変化の割合・利用 ── 解答

基礎

  1. 10　x = 4 で y = 16、x = 6 で y = 36。(36 − 16) ÷ (6 − 4) = 20 ÷ 2 = 10。公式 a(p + q) = 1 × 10 でも同じ。
  2. 5　x = −4 で y = −16、x = −1 で y = −1。(−1 − (−16)) ÷ (−1 − (−4)) = 15 ÷ 3 = 5。
  3. イ　x の区間によって変わる　y = ax² の変化の割合は一定でない。区間を指定して計算する（一次関数との違い）。
  4. ウ　a(p + q)　(aq² − ap²)/(q − p) = a(q + p)(q − p)/(q − p) = a(p + q)。
  5. 45　y = 5 × 3² = 45 m。
  6. 21　y の増加量 = 3 × 4² − 3 × 3² = 48 − 27 = 21。

標準

  1. −3　a(p + q) = a × (3 + 5) = 8a = −24 → a = −3。
  2. 1　一次関数の変化の割合は傾き 7。a(3 + 4) = 7 → 7a = 7 → a = 1。
  3. 25　平均の速さ = 変化の割合 = 5(1 + 4) = 25 m/秒。
  4. 8　速さが 2 倍なので距離は 2² = 4 倍。2 × 4 = 8 m。（a = 2/20² から計算しても同じ）
  5. イ　(32 − 2) ÷ (4 − 1) = 10 と書く　2 点の y（2 × 4² = 32、2 × 1² = 2）から y の増加量 ÷ x の増加量を計算する式を書くのが定義どおり。公式 a(p + q) は確認用。
  6. 2　人は x 秒間に 4x m 進む。2x² = 4x → x(2x − 4) = 0 → x = 0、2。出発した 0 秒をのぞいて 2 秒後。
  7. 4　この 1 秒間の平均の速さ（変化の割合）は a × (はじめ + おわり) = 5 × (t + t + 1) = 5(2t + 1) m/秒。5(2t + 1) = 45 → t = 4。
  8. 40　制動距離が 12 ÷ 3 = 4 倍。2 乗に比例するので、速さは 2 倍（2² = 4）。20 × 2 = 40。
  9. ウ　絶対値は等しく、符号が反対になる　y = ax² の変化の割合は a × (はじめの x + おわりの x)。1 から 3 は a × 4 = 4a、−3 から −1 は a × (−4) = −4a。

発展

  1. undefined　y = −4x − 3　傾き = 変化の割合 = a(p + q) = 1(−3 + −1) = −4。A(−3, 9) を通るので 9 = −4 × (−3) + b → b = −3。y = −4x − 3。
  2. 3　a(p + q) = 1(3 + 3 + h) = 9 → 6 + h = 9 → h = 3。
  3. ア　4　x = −3 で y = −9、x = −1 で y = −1。(−1 − (−9))/(−1 − (−3)) = 8/2 = 4。公式 −1 × (−3 + (−1)) = 4。
  4. イ　45 m　5 × 25 − 5 × 16 = 125 − 80 = 45 m。変化の割合 5(4 + 5) = 45 と一致（x の増加量が 1 なので）。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m3-09/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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