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小テスト ／ m3-10

放物線と直線（交点・面積）

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放物線と直線（交点・面積） ── 問題

基礎

  1. 放物線 y = −3x² 上の x 座標が −3 の点の y 座標を求めなさい。
  2. 放物線 y = x² と直線 y = 7x − 12 の 2 つの交点のうち、x 座標が大きいほうの x 座標を求めなさい。
  3. 放物線 y = x² 上の 2 点 A（x 座標 −2）、B（x 座標 −1）を通る直線の式はどれですか。　（ア y = −3x　イ y = −3x − 2　ウ y = −3x + 2　エ y = x − 2）
  4. 放物線 y = ax² 上の x 座標が t の点を表したものはどれですか。　（ア (at², t)　イ (t, a + t²)　ウ (t, at²)　エ (t, at)）
  5. 放物線 y = x² と直線 y = x + 2 の交点を求める方程式はどれですか。　（ア x = x² + 2　イ x² = x + 2　ウ x² − x + 2 = 0　エ x² + x + 2 = 0）
  6. y = x² と y = x + 2 の交点 A(−1, 1)、B(2, 4) と原点 O について、△OAB の面積を求めるとき、共通の底辺として使うのはどれですか。　（ア 線分 AB　イ 線分 OA　ウ x 軸　エ 直線 y = x + 2 と y 軸の交点 C(0, 2) と O を結ぶ OC）

標準

  1. 放物線 y = x² と直線 y = −x + 2 の交点を A、B（A の x 座標 ＜ B の x 座標）、原点を O とします。△OAB の面積を求めなさい。
  2. 放物線 y = 2x² と直線 y = 4x + 16 の 2 つの交点のうち、x 座標が小さいほうの x 座標を求めなさい。
  3. 放物線 y = x² 上の 2 点 A（x 座標 −1）、B（x 座標 4）と原点 O について、O を通り △OAB の面積を 2 等分する直線の式はどれですか。　（ア y = 3x/2　イ y = 17x/2　ウ y = 17x/3　エ y = 3x）
  4. 放物線 y = x² と直線 y = 2x + 8 の交点 A、B（A の x 座標 ＜ B の x 座標）について、放物線上に点 P（P ≠ O）をとり △PAB = △OAB となるようにします。P の x 座標を求めなさい。
  5. 放物線上の点 P で △PAB = △OAB（P ≠ O）となる点を求める方法はどれですか。　（ア A と B を結ぶ直線と放物線の交点　イ O から AB への垂線と放物線の交点　ウ O を通り AB に平行な直線と放物線の交点　エ AB の中点を通る直線と放物線の交点）

発展

  1. 放物線 y = ax² 上の 2 点 A（x 座標 −2）、B（x 座標 2）を通る直線の切片が 2 のとき、a の値を求めなさい。
  2. 放物線 y = x² と直線 y = x + 12 の交点 A、B（A の x 座標 ＜ B の x 座標）と、点 P(4, 0) について、△ABP の面積を求めなさい。
  3. 放物線 y = ax² 上の 2 点（x 座標 p、q）を通る直線の傾きと切片の組み合わせはどれですか。　（ア 傾き a(p + q)、切片 apq　イ 傾き apq、切片 a(p + q)　ウ 傾き a(p + q)、切片 −apq　エ 傾き a(p − q)、切片 −apq）
  4. y = x² と y = x + 2 の交点 A(−1, 1)、B(2, 4) について、△OAB の面積はどれですか。　（ア 3　イ 6　ウ 4　エ 2）

放物線と直線（交点・面積） ── 解答

基礎

  1. −27　(t, at²) に代入：y = −3 × (−3)² = −27。点 (−3, −27)。
  2. 4　x² = 7x − 12 → x² − 7x + 12 = 0 → (x − 3)(x − 4) = 0 → x = 3, 4。大きいほうは 4（y = 16）。
  3. イ　y = −3x − 2　A(−2, 4)、B(−1, 1)。傾き (1 − 4)/(−1 − (−2)) = −3（= a(p + q)）。切片 b = 4 − (−3) × (−2) = −2。y = −3x − 2。
  4. ウ　(t, at²)　y = ax² に x = t を代入して y = at²。
  5. イ　x² = x + 2　y が等しいとおく：x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → x = 2, −1。
  6. エ　直線 y = x + 2 と y 軸の交点 C(0, 2) と O を結ぶ OC　直線と y 軸の交点 C で △OAC と △OBC に分け、OC = 2 を共通の底辺にする。高さは A、B の x 座標の絶対値。

標準

  1. 3　交点 x² = −x + 2 → x = −2, 1。A(−2, 4)、B(1, 1)。直線と y 軸の交点 C(0, 2)。△OAB = (1/2) × OC × (|−2| + |1|) = (1/2) × 2 × 3 = 3。
  2. −2　2x² = 4x + 16 → 2x² − 4x − 16 = 0 → 2(x + 2)(x − 4) = 0 → x = −2, 4。小さいほうは −2。
  3. ウ　y = 17x/3　O を通って 2 等分する直線は AB の中点 M を通る。A(−1, 1)、B(4, 16)、M(3/2, 17/2)。O と M を通る直線の傾き = 17/2 ÷ 3/2。y = 17x/3。
  4. 2　O を通り AB に平行な直線 y = 2x と放物線の交点：x² = 2x → x = 0, 2。P ≠ O なので P の x 座標は 2（底辺 AB 共通・高さが等しい）。
  5. ウ　O を通り AB に平行な直線と放物線の交点　底辺 AB が共通なので、O と同じ高さ（AB に平行な直線上）にあれば面積が等しい。

発展

  1. 0.5　傾き a(p + q)、切片 −apq = −a × (−2) × 2 = 4a。4a = 2 → a = 0.5。
  2. 56　A(−3, 9)、B(4, 16)、P(4, 0)。BP は x = 4 上の縦線で長さ 16。高さは A から x = 4 までの距離 7。面積 = (1/2) × 16 × 7 = 56。
  3. ウ　傾き a(p + q)、切片 −apq　傾きは変化の割合 a(p + q)。(p, ap²) を代入：ap² = a(p + q)p + b → b = −apq。
  4. ア　3　直線と y 軸の交点 C(0, 2)。(1/2) × OC × (|−1| + |2|) = (1/2) × 2 × 3 = 3。

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