放物線と直線（交点・面積） ── 問題
基礎
- 放物線 y = −3x² 上の x 座標が 2 の点の y 座標を求めなさい。
- 放物線 y = x² と直線 y = −x + 6 の 2 つの交点のうち、x 座標が大きいほうの x 座標を求めなさい。
- 放物線 y = x² 上の 2 点 A（x 座標 −2）、B（x 座標 3）を通る直線の式はどれですか。 （ア y = 5x + 6 イ y = x − 6 ウ y = x エ y = x + 6）
- 放物線 y = ax² 上の x 座標が t の点を表したものはどれですか。 （ア (at², t) イ (t, a + t²) ウ (t, at²) エ (t, at)）
- 放物線 y = x² と直線 y = x + 2 の交点を求める方程式はどれですか。 （ア x = x² + 2 イ x² = x + 2 ウ x² − x + 2 = 0 エ x² + x + 2 = 0）
- y = x² と y = x + 2 の交点 A(−1, 1)、B(2, 4) と原点 O について、△OAB の面積を求めるとき、共通の底辺として使うのはどれですか。 （ア 交点 A(−1, 1) と B(2, 4) を結ぶ線分 AB イ 原点 O と A(−1, 1) を結ぶ線分 OA ウ x 軸のうち、A と B の真下の区間 エ 直線と y 軸の交点 C(0, 2) と O を結ぶ OC）
標準
- 放物線 y = x² と直線 y = x + 12 の交点を A、B（A の x 座標 ＜ B の x 座標）、原点を O とします。△OAB の面積を求めなさい。
- 放物線 y = 3x² と直線 y = −6x + 24 の 2 つの交点のうち、x 座標が小さいほうの x 座標を求めなさい。
- 放物線 y = x² 上の 2 点 A（x 座標 −3）、B（x 座標 2）と原点 O について、O を通り △OAB の面積を 2 等分する直線の式はどれですか。 （ア y = 13x/2 イ y = −x ウ y = −13x エ y = −x/2）
- 放物線 y = x² と直線 y = 3x + 4 の交点 A、B（A の x 座標 ＜ B の x 座標）について、放物線上の A と B の間に点 P（P ≠ O）をとり △PAB = △OAB となるようにします。P の x 座標を求めなさい。
- 放物線上の点 P で △PAB = △OAB（P ≠ O）となる点を求める方法はどれですか。 （ア A と B を結ぶ直線と放物線の交点 イ O から AB への垂線と放物線の交点 ウ O を通り AB に平行な直線と放物線の交点 エ AB の中点を通る直線と放物線の交点）
- 放物線 y = x² と直線 y = −3x + 4 の交点を A、B、原点を O とします。y 軸上の y ＞ 0 の部分に点 P をとり、△PAB の面積が △OAB の面積と等しくなるようにします。P の y 座標を求めなさい。
- 放物線 y = x² 上の点 A（x 座標 −4）を通り、傾き 1 の直線が、放物線と A 以外の点 B で交わります。B の x 座標を求めなさい。
発展
- 放物線 y = ax² 上の 2 点 A（x 座標 −3）、B（x 座標 1）を通る直線の切片が 3 のとき、a の値を求めなさい。
- 放物線 y = x² と直線 y = 2x + 3 の交点 A、B（A の x 座標 ＜ B の x 座標）と、点 P(3, 0) について、△ABP の面積を求めなさい。
- 放物線 y = ax² 上の 2 点（x 座標 p、q）を通る直線の傾きと切片の組み合わせはどれですか。 （ア 傾き a(p + q)、切片 apq イ 傾き apq、切片 a(p + q) ウ 傾き a(p + q)、切片 −apq エ 傾き a(p − q)、切片 −apq）
- y = x² と y = x + 2 の交点 A(−1, 1)、B(2, 4) について、△OAB の面積はどれですか。 （ア 3 イ 6 ウ 4 エ 2）
- 放物線 y = 3x² 上の点 A の x 座標を t（t ＞ 0）、A と y 軸について対称な点を D とします。A、D から x 軸に垂線を引き、x 軸との交点をそれぞれ B、C として長方形 ABCD をつくります。AD : AB = 2 : 3 となるとき、t の値を求めなさい。
- 放物線 y = x² 上に 2 点 A(−2, 4)、B(3, 9) があります。x 軸上に点 P をとり、AP + PB が最も小さくなるときの P の x 座標はどれですか。 （ア 1/2 イ −6/13 ウ −6 エ −13/6）
放物線と直線（交点・面積） ── 解答
基礎
- −12 (t, at²) に代入：y = −3 × (2)² = −12。点 (2, −12)。
- 2 x² = −x + 6 → x² + x − 6 = 0 → (x + 3)(x − 2) = 0 → x = −3, 2。大きいほうは 2（y = 4）。
- エ y = x + 6 A(−2, 4)、B(3, 9)。傾き (9 − 4)/(3 − (−2)) = 1（= a(p + q)）。切片 b = 4 − (1) × (−2) = 6。y = x + 6。
- ウ (t, at²) y = ax² に x = t を代入して y = at²。
- イ x² = x + 2 y が等しいとおく：x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → x = 2, −1。
- エ 直線と y 軸の交点 C(0, 2) と O を結ぶ OC 直線と y 軸の交点 C で △OAC と △OBC に分け、OC = 2 を共通の底辺にする。高さは A、B の x 座標の絶対値。
標準
- 42 交点 x² = x + 12 → x = −3, 4。A(−3, 9)、B(4, 16)。直線と y 軸の交点 C(0, 12)。△OAB = (1/2) × OC × (|−3| + |4|) = (1/2) × 12 × 7 = 42。
- −4 3x² = −6x + 24 → 3x² + 6x − 24 = 0 → 3(x + 4)(x − 2) = 0 → x = −4, 2。小さいほうは −4。
- ウ y = −13x O を通って 2 等分する直線は AB の中点 M を通る。A(−3, 9)、B(2, 4)、M(−1/2, 13/2)。O と M を通る直線の傾き = 13/2 ÷ −1/2。y = −13x。
- 3 O を通り AB に平行な直線 y = 3x と放物線の交点：x² = 3x → x = 0, 3。P ≠ O なので P の x 座標は 3（底辺 AB 共通・高さが等しい）。
- ウ O を通り AB に平行な直線と放物線の交点 底辺 AB が共通なので、O と同じ高さ（AB に平行な直線上）にあれば面積が等しい。
- 8 直線と y 軸の交点を C(0, 4) とする。△OAB と △PAB はどちらも C で 2 つに分けられ、面積は (1/2) × (y 軸上の長さ) × (A と B の x 座標の差)。面積が等しいので PC = OC = 4。P は C の上側で、y 座標は 4 + 4 = 8。
- 5 y = x² 上の 2 点（x 座標 p、q）を通る直線の傾きは p + q。−4 + q = 1 → q = 5。（x² = x + b に A を代入して解いても同じ）
発展
- 1 傾き a(p + q)、切片 −apq = −a × (−3) × 1 = 3a。3a = 3 → a = 1。
- 18 A(−1, 1)、B(3, 9)、P(3, 0)。BP は x = 3 上の縦線で長さ 9。高さは A から x = 3 までの距離 4。面積 = (1/2) × 9 × 4 = 18。
- ウ 傾き a(p + q)、切片 −apq 傾きは変化の割合 a(p + q)。(p, ap²) を代入：ap² = a(p + q)p + b → b = −apq。
- ア 3 直線と y 軸の交点 C(0, 2)。(1/2) × OC × (|−1| + |2|) = (1/2) × 2 × 3 = 3。
- 1 A(t, 3t²)、D(−t, 3t²) なので AD = 2t、AB = 3t²。2t : 3t² = 2 : 3 → 2 × 3t² = 3 × 2t → t ＞ 0 でわって t = 1。
- イ −6/13 x 軸について A と対称な点 A′(−2, −4) をとると AP + PB = A′P + PB。A′、P、B が一直線のとき最小。A′B の傾きは (9 − (−4)) ÷ (3 − (−2)) = 13/5、y = (13/5)(x − 3) + 9。y = 0 として x = −6/13。
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