平行線と線分の比・中点連結定理 ── 問題
基礎
- △ABC で DE ∥ BC（D は AB 上、E は AC 上）、AD = 2、DB = 6、AE = 8 のとき、EC の長さを求めなさい。
- △ABC で DE ∥ BC（D は AB 上、E は AC 上）、AD = 8、DB = 6、DE = 2 のとき、BC の長さを求めなさい。
- △ABC の辺 AB、AC の中点をそれぞれ M、N とします。BC = 12 のとき、MN の長さを求めなさい。
- △ABC で DE ∥ BC（D は AB 上、E は AC 上）のとき、DE : BC と等しい比はどれですか。 （ア AE : EC イ DB : AB ウ AD : AB エ AD : DB）
- 中点連結定理の内容として正しいものはどれですか。 （ア 2 辺の中点を結ぶ線分は第 3 辺に平行で、長さは第 3 辺と等しい イ 2 辺の中点を結ぶ線分は第 3 辺に垂直 ウ 2 辺の中点を結ぶ線分は第 3 辺に平行で、長さは第 3 辺の半分 エ 2 辺の中点を結ぶ線分は第 3 辺の 2 倍）
- 四角形 ABCD の各辺の中点を順に結んでできる四角形はどれですか。 （ア 平行四辺形 イ 長方形 ウ 台形 エ ひし形）
標準
- 3 本の平行線に 2 本の直線が交わっています。一方の直線が平行線によって 6、7 に分けられ、他方の直線の対応する部分の一方が 3 のとき、もう一方の長さを求めなさい（6 に対応する部分が 3）。
- △ABC で ∠A の二等分線と辺 BC の交点を D とします。AB = 8、AC = 7、BC = 8 のとき、BD の長さを求めなさい。
- 台形 ABCD（AD ∥ BC）で、AD = 5、BC = 11 です。脚 AB、DC の中点をそれぞれ M、N とするとき、MN の長さを求めなさい。
- ひし形の各辺の中点を順に結んでできる四角形はどれですか。 （ア 正方形 イ 平行四辺形（それ以上はいえない） ウ ひし形 エ 長方形）
- △ABC で AD : DB = AE : EC（D は AB 上、E は AC 上）がわかっているとき、いえることはどれですか。 （ア DE = BC イ D、E は中点 ウ DE ∥ BC エ DE ⊥ BC）
- 台形 ABCD（AD ∥ BC、AD = 6 cm、BC = 12 cm）で、辺 AB 上に AE : EB = 2 : 3 となる点 E をとり、E を通り BC に平行な直線と辺 DC の交点を F とします。EF の長さは何 cm ですか。
- 四角形 ABCD の辺 AB、BC、CD、DA の中点をそれぞれ P、Q、R、S とします。四角形 PQRS が平行四辺形になることを次のように証明します。 △ABC で中点連結定理より PQ ∥ AC、PQ = (1/2)AC △ACD で中点連結定理より【ア】 よって PQ ∥ SR、PQ = SR。1 組の対辺が平行でその長さが等しいので、PQRS は平行四辺形。 【ア】にあてはまるものはどれですか。 （ア SR ∥ AC、SR = 2AC イ SR ∥ AC、SR = (1/2)AC ウ SR ∥ BD、SR = (1/2)BD エ QR ∥ BD、QR = (1/2)BD）
発展
- 台形 ABCD（AD ∥ BC）の対角線の交点を O とします。AD = 2、BC = 6、AC = 14 のとき、AO の長さを求めなさい。
- 平行四辺形 ABCD の辺 BC 上に BE : EC = 1 : 5 となる点 E をとり、AE と対角線 BD の交点を F とします。AF : FE を最も簡単な整数の比で表したとき、AF にあたる数を答えなさい（FE にあたる数は BE の比の値）。
- 角の二等分線の性質 BD : DC = AB : AC を導くときに引く補助線はどれですか。 （ア D を通り AB に平行な直線（AC と交わる） イ C を通り AD に平行な直線（BA の延長と交わる） ウ BC の垂直二等分線 エ A から BC へ下ろした垂線（BC と直角に交わる））
- 「AF : FE = 3 : 2 で AE = 10」のとき AF の長さはどれですか。 （ア 4 イ 6 ウ 3 エ 7.5）
- △ABC の辺 BC の中点を M とし、線分 AM 上に AN : NM = 3 : 1 となる点 N をとります。直線 BN と辺 AC の交点を P とします。AC = 6 cm のとき、AP の長さは何 cm ですか。
- AB = 6 cm、AC = 4 cm、BC = 5 cm の △ABC で、∠A の二等分線と辺 BC の交点を D とします。D を通り AB に平行な直線と辺 AC の交点を E とするとき、DE の長さはどれですか。 （ア 18/5 cm イ 3 cm ウ 12/5 cm エ 8/5 cm）
平行線と線分の比・中点連結定理 ── 解答
基礎
- 24 AD : DB = AE : EC → 2 : 6 = 8 : EC → EC = 8 × 6 ÷ 2 = 24。
- 7/2 DE : BC = AD : AB（全体）= 8 : 14。BC = 2 × 14 ÷ 8 = 7/2。AD : DB を使わないこと。
- 6 中点連結定理：MN ∥ BC、MN = (1/2)BC = 6。
- ウ AD : AB DE : BC は全体との比 AD : AB（△ADE ∽ △ABC の相似比）。AD : DB ではない。
- ウ 2 辺の中点を結ぶ線分は第 3 辺に平行で、長さは第 3 辺の半分 MN ∥ BC、MN = (1/2)BC。
- ア 平行四辺形 対角線 AC を引き、中点連結定理を 2 回使うと、1 組の対辺が AC に平行で長さが AC の半分。平行四辺形。
標準
- 7/2 a : b = c : d → 6 : 7 = 3 : d → d = 3 × 7 ÷ 6 = 7/2。
- 64/15 BD : DC = AB : AC = 8 : 7。BD = BC × 8/(8 + 7) = 64/15。
- 8 対角線で 2 つの三角形に分け、それぞれ中点連結定理。MN = (AD + BC)/2 = (5 + 11)/2 = 8。
- エ 長方形 ひし形の対角線は垂直。中点を結んだ四角形の辺は対角線に平行なので、角が 90° になり長方形。
- ウ DE ∥ BC 線分の比が等しければ平行（性質の逆）。
- 8.4 対角線 AC と EF の交点を G とする。△ABC で EG ∥ BC より EG = 12 × 2/5 = 4.8。△CDA で GF ∥ AD、CG : CA = 3 : 5 より GF = 6 × 3/5 = 3.6。EF = 4.8 + 3.6 = 8.4。
- イ SR ∥ AC、SR = (1/2)AC △ACD で S は DA の中点、R は CD の中点。2 辺の中点を結ぶ SR は残りの辺 AC に平行で、長さは AC の半分。QR ∥ BD も正しいが △BCD の話で、ここでは使わない。
発展
- 7/2 △AOD ∽ △COB（砂時計型）で AO : CO = AD : BC = 2 : 6。AO = AC × 2/(2 + 6) = 7/2。
- 6 △AFD ∽ △EFB（AD ∥ BC の錯角）。AF : EF = AD : EB = BC : BE = (1 + 5) : 1。AF にあたる数は 6。
- イ C を通り AD に平行な直線（BA の延長と交わる） C を通り AD に平行な直線と BA の延長の交点 E をとると、△ACE が二等辺三角形（AE = AC）になり、BD : DC = BA : AE。
- イ 6 比の合計 3 + 2 = 5 で全体を割る。AF = 10 × 3/5 = 6。
- 3.6 M を通り BP に平行な直線と AC の交点を Q とする。△CBP で M は BC の中点、MQ ∥ BP なので Q は CP の中点（中点連結定理の逆・PQ = QC）。△AMQ で NP ∥ MQ より AP : PQ = AN : NM = 3 : 1。AP : PQ : QC = 3 : 1 : 1 なので AP = 6 × 3/5 = 3.6。
- ウ 12/5 cm BD : DC = AB : AC = 6 : 4 = 3 : 2 なので DC = 5 × 2/5 = 2 cm。△CAB で DE ∥ AB より DE : AB = CD : CB = 2 : 5。DE = 6 × 2/5 = 12/5 cm。
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