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小テスト ／ m3-13

相似の利用・面積比と体積比

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相似の利用・面積比と体積比 ── 問題

基礎

  1. 相似比が 1 : 6 の 2 つの三角形の面積比を m² : n² の形で表したとき、n² にあたる数を答えなさい。
  2. △ABC ∽ △DEF で相似比が 1 : 3、△ABC の面積が 3 cm² のとき、△DEF の面積は何 cm² ですか。
  3. 相似比が 1 : 5 の 2 つの立体の体積比を m³ : n³ の形で表したとき、n³ にあたる数を答えなさい。
  4. △ABC の辺 BC 上に BD : DC = 3 : 1 となる点 D をとります。△ABC の面積が 20 cm² のとき、△ABD の面積は何 cm² ですか。
  5. 2 つの相似な図形の表面積比が 4 : 9 のとき、相似比はどれですか。　（ア 4 : 9　イ 2 : 3　ウ 16 : 81　エ 8 : 27）
  6. 相似比が 1 : 2 の円の面積比はどれですか。　（ア 1 : 4　イ 1 : 2　ウ 1 : 8　エ 2 : 1）

標準

  1. 2 つの相似な立体の表面積比が 4 : 25 のとき、体積比を m³ : n³ の形で表したときの n³ にあたる数を答えなさい。
  2. △ABC で DE ∥ BC（D は AB 上、E は AC 上）、AD : DB = 1 : 2 のとき、△ADE : 台形 DBCE を最も簡単な整数の比 1 : ○ で表したときの ○ を答えなさい。
  3. 高さ 16 cm の円錐を、頂点から 4 cm のところで底面に平行に切ります。上の小さい円錐と下の円錐台の体積比を 1 : ○ で表したときの ○ を答えなさい。
  4. △ABC の辺 BC 上の点 D について、△ABD と △ADC の面積比を求める根拠として正しいものはどれですか。　（ア ∠BAD : ∠DAC　イ 相似比の 2 乗　ウ AB : AC　エ 高さが共通なので底辺の比 BD : DC）
  5. △ABC で DE ∥ BC、AD : DB = 1 : 2 のとき、△ADE : △ABC の面積比はどれですか。　（ア 1 : 4　イ 1 : 2　ウ 1 : 3　エ 1 : 9）

発展

  1. 高さ 3 cm、底面の半径 9 cm の円錐を、頂点から 1 cm のところで底面に平行に切りました。円錐台の体積は □π cm³ です。□に入る数を答えなさい。
  2. 平行四辺形 ABCD で BE : EC = 1 : 2（E は BC 上）、AE と BD の交点を F とする。△ABF : ▱ABCD はどれですか。　（ア 1 : 4　イ 1 : 12　ウ 1 : 6　エ 1 : 8）
  3. 2 つの相似な立体の体積比が 8 : 27 のとき、表面積比はどれですか。　（ア 16 : 81　イ 8 : 27　ウ 4 : 9　エ 2 : 3）
  4. 縮尺 1/25000 の地図で 4 cm² の土地の実際の面積はどれですか。　（ア 0.25 km²　イ 100000 cm²　ウ 1 km²　エ 2.5 km²）

相似の利用・面積比と体積比 ── 解答

基礎

  1. 36　面積比は相似比の 2 乗：1² : 6² = 1 : 36。
  2. 27　面積比 1² : 3² = 1 : 9。3 : S = 1 : 9 → S = 27 cm²。
  3. 125　体積比は相似比の 3 乗：1³ : 5³ = 1 : 125。
  4. 15　高さが共通なので面積比 = 底辺の比 3 : 1。△ABD = 20 × 3/(3 + 1) = 15 cm²。
  5. イ　2 : 3　表面積比は相似比の 2 乗。4 : 9 = 2² : 3² なので相似比 2 : 3。
  6. ア　1 : 4　半径が 2 倍になると面積は 2² = 4 倍。

標準

  1. 125　表面積比 4 : 25 = 2² : 5² → 相似比 2 : 5 → 体積比 2³ : 5³ = 8 : 125。
  2. 8　相似比 AD : AB = 1 : 3（AD : DB ではない）→ 面積比 1 : 9。台形 = 9 − 1 = 8。△ADE : 台形 = 1 : 8。
  3. 63　上の円錐と全体は相似で相似比 4 : 16 = 1 : 4。体積比 1 : 64。円錐台 = 64 − 1 = 63。上 : 下 = 1 : 63。
  4. エ　高さが共通なので底辺の比 BD : DC　A から BC への垂線が共通の高さ。相似ではないので 2 乗は使わない。
  5. エ　1 : 9　相似比は AD : AB = 1 : 3（AD : DB = 1 : 2 ではない）。面積比 1 : 9。

発展

  1. 78　全体 (1/3)π × 9² × 3 = 81π。相似比 1 : 3 なので上の円錐は 81π × 1/27。円錐台 = 81π × (1 − 1/27) = 78π cm³。
  2. エ　1 : 8　△AFD ∽ △EFB で AD : EB = 3 : 1 → BF : FD = 1 : 3 → △ABF = (1/4)△ABD = (1/4)(1/2)▱ = (1/8)▱。
  3. ウ　4 : 9　体積比 8 : 27 = 2³ : 3³ → 相似比 2 : 3 → 表面積比 2² : 3² = 4 : 9。
  4. ア　0.25 km²　長さ 25000 倍なので面積は 25000² 倍。4 × 6.25 × 10⁸ cm² = 2.5 × 10⁹ cm² = 0.25 km²（1 km² = 10¹⁰ cm²）。

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