相似の利用・面積比と体積比 ── 問題
基礎
- 相似比が 1 : 7 の 2 つの三角形の面積比を m² : n² の形で表したとき、n² にあたる数を答えなさい。
- △ABC ∽ △DEF で相似比が 1 : 6、△ABC の面積が 4 cm² のとき、△DEF の面積は何 cm² ですか。
- 相似比が 2 : 5 の 2 つの立体の体積比を m³ : n³ の形で表したとき、n³ にあたる数を答えなさい。
- △ABC の辺 BC 上に BD : DC = 1 : 1 となる点 D をとります。△ABC の面積が 12 cm² のとき、△ABD の面積は何 cm² ですか。
- 2 つの相似な図形の表面積比が 4 : 9 のとき、相似比はどれですか。 （ア 4 : 9 イ 2 : 3 ウ 16 : 81 エ 8 : 27）
- 相似比が 1 : 2 の円の面積比はどれですか。 （ア 1 : 4 イ 1 : 2 ウ 1 : 8 エ 2 : 1）
標準
- 2 つの相似な立体の表面積比が 4 : 25 のとき、体積比を m³ : n³ の形で表したときの n³ にあたる数を答えなさい。
- △ABC で DE ∥ BC（D は AB 上、E は AC 上）、AD : DB = 1 : 4 のとき、△ADE : 台形 DBCE を最も簡単な整数の比 1 : ○ で表したときの ○ を答えなさい。
- 高さ 9 cm の円錐を、頂点から 3 cm のところで底面に平行に切ります。上の小さい円錐と下の円錐台の体積比を 1 : ○ で表したときの ○ を答えなさい。
- △ABC の辺 BC 上の点 D について、△ABD と △ADC の面積比を求める根拠として正しいものはどれですか。 （ア 頂角の比 ∠BAD : ∠DAC イ 2 つの三角形の相似比の 2 乗 ウ 2 辺 AB、AC の長さの比 AB : AC エ 高さが共通で、底辺の比 BD : DC）
- △ABC で DE ∥ BC、AD : DB = 1 : 2 のとき、△ADE : △ABC の面積比はどれですか。 （ア 1 : 4 イ 1 : 2 ウ 1 : 3 エ 1 : 9）
- 図の △ABC で、辺 BC 上に点 D があり、BD = 2 cm、DC = 5 cm です。△ABC の面積が 42 cm² のとき、△ABD の面積を求めなさい。
- 図の △ABC で、DE ∥ BC、AD = 2 cm、DB = 1 cm です。△ADE の面積が 8 cm² のとき、台形 DBCE の面積を求めなさい。
- ピザ屋で、直径 20 cm のピザが 1,200 円、直径 30 cm のピザが 2,400 円で売られています（厚さは同じ）。1 cm² あたりの値段で比べた結果として正しいものはどれですか。 （ア 直径 30 cm のほうが安い（面積は 2.25 倍、値段は 2 倍） イ 直径 30 cm のほうが高い（体積比 8 : 27 で比べると割高） ウ どちらも同じ（直径も値段も一定の割合で大きくなる） エ 直径 20 cm のほうが安い（直径は 1.5 倍なのに値段は 2 倍））
発展
- 高さ 4 cm、底面の半径 6 cm の円錐を、頂点から 2 cm のところで底面に平行に切りました。円錐台の体積は □π cm³ です。□に入る数を答えなさい。
- 平行四辺形 ABCD で BE : EC = 1 : 2（E は BC 上）、AE と BD の交点を F とする。△ABF : ▱ABCD はどれですか。 （ア 1 : 4 イ 1 : 12 ウ 1 : 6 エ 1 : 8）
- 2 つの相似な立体の体積比が 8 : 27 のとき、表面積比はどれですか。 （ア 16 : 81 イ 8 : 27 ウ 4 : 9 エ 2 : 3）
- 縮尺 1/25000 の地図で 4 cm² の土地の実際の面積はどれですか。 （ア 0.25 km² イ 100000 cm² ウ 1 km² エ 2.5 km²）
- 平行四辺形 ABCD の辺 AD 上に AE : ED = 3 : 1 となる点 E をとり、線分 BE と対角線 AC の交点を F とします。平行四辺形 ABCD の面積が 168 cm² のとき、△AEF の面積は何 cm² ですか。
相似の利用・面積比と体積比 ── 解答
基礎
- 49 面積比は相似比の 2 乗：1² : 7² = 1 : 49。
- 144 面積比 1² : 6² = 1 : 36。4 : S = 1 : 36 → S = 144 cm²。
- 125 体積比は相似比の 3 乗：2³ : 5³ = 8 : 125。
- 6 高さが共通なので面積比 = 底辺の比 1 : 1。△ABD = 12 × 1/(1 + 1) = 6 cm²。
- イ 2 : 3 表面積比は相似比の 2 乗。4 : 9 = 2² : 3² なので相似比 2 : 3。
- ア 1 : 4 半径が 2 倍になると面積は 2² = 4 倍。
標準
- 125 表面積比 4 : 25 = 2² : 5² → 相似比 2 : 5 → 体積比 2³ : 5³ = 8 : 125。
- 24 相似比 AD : AB = 1 : 5（AD : DB ではない）→ 面積比 1 : 25。台形 = 25 − 1 = 24。△ADE : 台形 = 1 : 24。
- 26 上の円錐と全体は相似で相似比 3 : 9 = 1 : 3。体積比 1 : 27。円錐台 = 27 − 1 = 26。上 : 下 = 1 : 26。
- エ 高さが共通で、底辺の比 BD : DC A から BC への垂線が共通の高さ。相似ではないので 2 乗は使わない。
- エ 1 : 9 相似比は AD : AB = 1 : 3（AD : DB = 1 : 2 ではない）。面積比 1 : 9。
- 12 △ABD と △ADC は高さが共通（A から BC への垂線）なので、面積比は底辺の比 BD : DC = 2 : 5。△ABD = 42 × 2/7 = 12 cm²。
- 10 △ADE ∽ △ABC で相似比 AD : AB = 2 : 3、面積比は 4 : 9。△ABC = 8 × 9/4 = 18 cm²、台形 DBCE = △ABC − △ADE = 18 − 8 = 10 cm²。
- ア 直径 30 cm のほうが安い（面積は 2.25 倍、値段は 2 倍） 相似比 20 : 30 = 2 : 3 なので面積比は 4 : 9（2.25 倍）。値段は 2 倍なので、1 cm² あたりは直径 30 cm のほうが安い（2 ÷ 2.25 ≒ 0.89 倍）。
発展
- 42 全体 (1/3)π × 6² × 4 = 48π。相似比 1 : 2 なので上の円錐は 48π × 1/8。円錐台 = 48π × (1 − 1/8) = 42π cm³。
- エ 1 : 8 △AFD ∽ △EFB で AD : EB = 3 : 1 → BF : FD = 1 : 3 → △ABF = (1/4)△ABD = (1/4)(1/2)▱ = (1/8)▱。
- ウ 4 : 9 体積比 8 : 27 = 2³ : 3³ → 相似比 2 : 3 → 表面積比 2² : 3² = 4 : 9。
- ア 0.25 km² 長さ 25000 倍なので面積は 25000² 倍。4 × 6.25 × 10⁸ cm² = 2.5 × 10⁹ cm² = 0.25 km²（1 km² = 10¹⁰ cm²）。
- 27 AE ∥ BC より △AEF ∽ △CBF で AF : FC = AE : CB = 3 : 4。△ACD = 84、△ACE = 84 × 3/4 = 63。△AEF = △ACE × AF/AC = 63 × 3/7 = 27。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m3-13/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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