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小テスト ／ m3-17

三平方の定理の利用（平面・空間）

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三平方の定理の利用（平面・空間） ── 問題

基礎

  1. 2 点 A(−4, 0)、B(−1, 4) の間の距離を求めなさい。
  2. 原点 O と点 P(5, 4) の距離はどれですか。　（ア 20　イ 9　ウ 3　エ √42　undefined √41）
  3. 半径 17 の円で、中心からの距離が 15 の弦の長さを求めなさい。
  4. 半径 8 の円 O の外の点 P について OP = 10 です。P から円に引いた接線の長さ（P から接点まで）を求めなさい。
  5. 縦 1、横 2、高さ 2 の直方体の対角線の長さを求めなさい。
  6. 1 辺 a の立方体の対角線の長さはどれですか。　（ア 2a　イ a√2　ウ 3a　エ a√3）

標準

  1. 底面の半径 4、母線の長さ 5 の円錐の体積は □π です。□に入る数を答えなさい。
  2. 底面が 1 辺 6 の正方形で、側面の辺（頂点から底面の頂点まで）がすべて 12 の正四角錐の高さはどれですか。　（ア 12　イ 3√14　ウ 6√3　エ 3√15）
  3. 半径 10 の円 O の中心から 6 の距離に弦 AB があります。△OAB の面積を求めなさい。
  4. 円錐の体積を求めるときに三平方の定理を使う目的はどれですか。　（ア 母線から高さを求めるため　イ 側面積を求めるため　ウ 底面積を求めるため　エ 中心角を求めるため）
  5. 直方体の表面を通って頂点 A から反対の頂点 G まで行く最短距離を求める方法はどれですか。　（ア 立体の対角線 √(a² + b² + c²) を求める　イ 展開図で A と G を結び、通る面ごとに比べる　ウ 3 辺の和 a + b + c を求める　エ 底面の対角線と高さをたす）
  6. 図の円 O は半径 17 cm で、中心 O から弦 AB に引いた垂線 OM の長さは 8 cm です。弦 AB の長さは何 cm ですか。
  7. 図で、点 P から半径 8 cm の円 O に接線を引き、接点を T とします。OP = 17 cm のとき、接線 PT の長さは何 cm ですか。
  8. 直方体 ABCD-EFGH（AB = 8 cm、AD = 5 cm、AE = 3 cm）で、辺 AB の中点を M とします。線分 MG の長さはどれですか。　（ア 4√5 cm　イ √41 cm　ウ 7√2 cm　エ 5√2 cm）

発展

  1. 縦 3、横 2、高さ 9 の直方体の表面を通って、頂点 A から反対の頂点 G まで行くとき、縦と横の面を通る道の最短距離はどれですか（展開図で (縦 + 横) と高さの長方形の対角線）。　（ア 2√37　イ √106　ウ 14　エ √94）
  2. 3 点 A(0, −2)、B(4, 2)、C(−4, 2) について、AB² + AC² の値を求めなさい（BC² と比べると ∠A が直角かどうかがわかります）。
  3. 半径 R の球を、中心から距離 d の平面で切ったときの切り口の円の半径はどれですか。　（ア √(R² − d²)　イ √(R² + d²)　ウ R/2　エ R − d）
  4. 正四角錐の高さを求めるときに間違えやすい点として正しいものはどれですか。　（ア 三平方の定理で、母線の長さをそのまま使ってしまう　イ 側面の三角形の高さを、立体の高さと混同する　ウ 展開図をかいて考えてしまう　エ 高さより先に、底面積を求めるのを忘れる）
  5. 放物線 y = x² と直線 y = x + 12 の 2 つの交点を A、B とします。線分 AB の長さはどれですか。　（ア 3√10 + 4√17　イ 14　ウ 7√2　エ 35√2）

三平方の定理の利用（平面・空間） ── 解答

基礎

  1. 5　x の差 3、y の差 4。AB = √((3)² + (4)²) = √25 = 5。
  2. undefined　√41　OP = √(5² + 4²) = √41 = √41。
  3. 16　中心から弦への垂線は弦を 2 等分。弦の半分 = √(17² − 15²) = 8。弦 = 16。
  4. 6　接線は接点で半径に垂直。PT = √(10² − 8²) = 6。
  5. 3　√(1² + 2² + 2²) = √9 = 3。底面の対角線 √(1² + 2²) と高さで、三平方の定理を 2 回。
  6. エ　a√3　√(a² + a² + a²) = √(3a²) = a√3。

標準

  1. 16　高さ h = √(5² − 4²) = 3。体積 = (1/3)π × 4² × 3 = 16π。母線でなく高さを使う。
  2. イ　3√14　頂点から底面の中心までが高さ。中心から底面の頂点まで = 対角線の半分 = 6√2/2 = 3√2。h = √(12² − (3√2)²) = √(126) = 3√14。
  3. 48　弦 AB = 2 × √(10² − 6²) = 16。高さは中心からの距離 6。面積 = (1/2) × 16 × 6 = 48。
  4. ア　母線から高さを求めるため　体積には高さが要る。母線・半径・高さの直角三角形で h = √(R² − r²)。
  5. イ　展開図で A と G を結び、通る面ごとに比べる　表面を通る最短は展開図上の直線。どの面を通るかで 3 通りあり、比べる。対角線は内部を通るので不可。
  6. 30　OM ⊥ AB で M は AB の中点。直角三角形 OAM で AM = √(17² − 8²) = √225 = 15。AB = 2 × 15 = 30 cm。
  7. 15　接線は接点で半径に垂直（OT ⊥ PT）。直角三角形 OTP で PT = √(17² − 8²) = √225 = 15 cm。
  8. エ　5√2 cm　底面で MB = 4、BC = 5 なので MC² = 4² + 5²。CG は底面に垂直なので MG² = MC² + 3² = 50。MG = 5√2。

発展

  1. イ　√106　展開すると (縦 + 横) = 5、高さ 9 の長方形。対角線 √(5² + 9²) = √106。
  2. 64　AB² = 4² + 4² = 32、AC² = 4² + 4² = 32。和は 64。BC² も 64 なので ∠A = 90° の直角二等辺三角形。
  3. ア　√(R² − d²)　中心・切り口の円周上の点・切り口の中心で直角三角形。半径 R が斜辺、d が 1 辺。
  4. イ　側面の三角形の高さを、立体の高さと混同する　立体の高さは頂点から底面の中心（対角線の交点）へ。側面の三角形の高さ（辺の中点へ）とは別物。
  5. ウ　7√2　x² = x + 12 → x = −3、4。A(−3, 9)、B(4, 16)。x の差 7、y の差 7。AB = √(7² + 7²) = 7√2。

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