整式の計算（展開・3次の乗法公式） ── 問題
基礎
- 整式 3x² + 5xy − 3y² は x について何次式ですか。
- 次の計算をしなさい。 (4x² + x − 6) − (5x² − 2x − 2) （ア −x² − x − 4 イ −x² + 3x − 4 ウ −x² + 3x − 8 エ 9x² − x − 8）
- 次の式を展開しなさい。 (x − 3)(3x + 2) （ア 4x² − 7x − 6 イ 3x² − 7x + 6 ウ 3x² − 7x − 6 エ 3x² + 11x − 6）
- 次の式を展開しなさい。 (x + 2)³ （ア x³ + 8 イ x³ + 6x² + 6x + 8 ウ x³ + 6x² + 12x + 8 エ x³ + 2x² + 4x + 8）
- 次の式を展開しなさい。 (x + 1)(x² − 1x + 1) （ア x³ + x² + x + 1 イ x³ − 1 ウ x³ + 2x² + 1 エ x³ + 1）
- 単項式 −4x²y³ の次数と係数の組み合わせとして正しいものはどれですか。 （ア 次数 5、係数 −4 イ 次数 6、係数 4 ウ 次数 2、係数 −4 エ 次数 5、係数 4）
標準
- 次の式を展開しなさい。 (x + 3y + 4)² （ア x² + 3xy + 4x + 9y² + 12y + 16 イ x² + 6xy − 8x + 9y² + 24y + 16 ウ x² + 9y² + 16 エ x² + 6xy + 8x + 9y² + 24y + 16）
- 次の式を展開しなさい。 (3x − 2)³ （ア 3x³ − 54x² + 36x − 8 イ 27x³ − 54x² + 36x − 8 ウ 27x³ − 18x² − 18x − 8 エ 27x³ − 8）
- 次の式を展開しなさい。 (x + 5)(x − 5)(x² + 25) （ア x⁴ − 25 イ x⁴ − 50x² + 625 ウ x⁴ − 625 エ x⁴ + 625）
- 次の式を展開しなさい。 (x + y + 5)(x + y − 5) （ア x² + 2xy + y² − 25 イ x² − 2xy + y² − 25 ウ x² + y² − 25 エ x² + 2xy + y² + 25）
- (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) を展開するとき、最初にかけ合わせると計算が楽になる組み合わせはどれですか。 （ア どの組でも同じ イ (x + 1)(x + 2) と (x + 3)(x + 4) ウ (x + 1)(x + 3) と (x + 2)(x + 4) エ (x + 1)(x + 4) と (x + 2)(x + 3)）
- 1 辺が x m（x > 8）の正方形の花壇がある。縦を 8 m 長くし、横を 8 m 短くして長方形の花壇に作り直すと、面積はもとの正方形より何 m² 小さくなりますか。
- Aさん「x + 1/x = 4 のとき、x³ + 1/x³ の値を求めたい。x を求めるのは大変そう。」 Bさん「(x + 1/x)³ を展開すると x³ + 3x + 3/x + 1/x³ になるよ。」 Aさん「3x + 3/x の部分を x + 1/x を使って表せば……。」 x³ + 1/x³ の値を求めなさい。
- 先生「(2x − 1)⁵ を展開したときの係数の和（定数項も含む）は、展開しなくても求められます。」 生徒「展開した式の x に、ある値を代入すればいいんですね。」 生徒が代入する値と、係数の和の組み合わせとして正しいものはどれですか。 （ア x = 1 を代入して 1 イ x = 1 を代入して 32 ウ x = 0 を代入して −1 エ x = −1 を代入して −243）
- Aさん「(x² + x + 1)(x² − x + 1) を展開したい。」 Bさん「x² + 1 = M とおくと (M + x)(M − x) = M² − x² になるよ。」 M をもとに戻して整理した式として正しいものはどれですか。 （ア x⁴ + 2x² + 1 イ x⁴ + 3x² + 1 ウ x⁴ + x² + 1 エ x⁴ − x² + 1）
発展
- 次の式を展開しなさい。 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) （ア x⁴ + 10x³ + 35x² + 51x + 24 イ x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 26 ウ x⁴ + 10x³ + 33x² + 50x + 24 エ x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 24）
- a + b = 3、ab = 1 のとき、a³ + b³ の値はどれですか。 （ア 18 イ 24 ウ 27 エ 9）
- (a + b)⁴ を展開したときの a²b² の係数はどれですか。 （ア 4 イ 6 ウ 8 エ 12）
- (x² − 2x + 3)³ を展開したときの x の係数を求めなさい。
整式の計算（展開・3次の乗法公式） ── 解答
基礎
- 2 x について最も次数の高い項は x の 2 乗の項なので 2 次式。y は数とみなす。
- イ −x² + 3x − 4 ひく式のかっこを外すときは全部の符号を変える。同類項をまとめて −x² + 3x − 4。
- ウ 3x² − 7x − 6 (ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd。3x² − 7x − 6
- ウ x³ + 6x² + 12x + 8 (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³。係数は 1・3・3・1。x³ + 6x² + 12x + 8
- エ x³ + 1 (a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³。x³ + 1
- ア 次数 5、係数 −4 文字の個数は x が 2 個・y が 3 個で 5。係数は符号込みで −4。
標準
- エ x² + 6xy + 8x + 9y² + 24y + 16 (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca。x² + 6xy + 8x + 9y² + 24y + 16
- イ 27x³ − 54x² + 36x − 8 (ax + b)³ = a³x³ + 3a²bx² + 3ab²x + b³。係数も 3 乗する。27x³ − 54x² + 36x − 8
- ウ x⁴ − 625 (x + a)(x − a) = x² − a² を先に作り、(x² − a²)(x² + a²) = x⁴ − a⁴。x⁴ − 625
- ア x² + 2xy + y² − 25 x + y = A とおくと (A + c)(A − c) = A² − c²。A² = x² + 2xy + y²。x² + 2xy + y² − 25
- エ (x + 1)(x + 4) と (x + 2)(x + 3) 定数の和が等しい組（1 + 4 = 2 + 3）を作ると、どちらも x² + 5x が現れておきかえができる。
- 64 長方形の面積は (x + 8)(x − 8) = x² − 64。x がいくつでも、もとの x² より 64 m² 小さい。
- 52 3x + 3/x = 3(x + 1/x) = 12。x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x) = 64 − 12 = 52。
- ア x = 1 を代入して 1 x = 1 を代入すると各項が係数だけになるので、係数の和は (2 − 1)⁵ = 1。x = 0 では定数項 −1 しか出ない。
- ウ x⁴ + x² + 1 M² − x² = (x² + 1)² − x² = x⁴ + 2x² + 1 − x² = x⁴ + x² + 1。x² を引き忘れると x⁴ + 2x² + 1 になる。
発展
- エ x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 24 1 + 4 = 2 + 3 なので、(x + 1)(x + 4) と (x + 2)(x + 3) を先にかけると、どちらにも x² + 5x が現れる。おきかえて展開すると x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 24。
- ア 18 a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = 27 − 3・1・3 = 18。
- イ 6 (a + b)⁴ = {(a + b)²}² = (a² + 2ab + b²)²。a²b² は (2ab)² = 4a²b² と 2・a²・b² = 2a²b² の和で 6a²b²。
- −54 3 つのかっこから 1 つずつ項を選んでかける。x の 1 次になるのは「1 つのかっこから x の項、残り 2 つから定数項 3」を選ぶときだけで、x の項を選ぶかっこの決め方が 3 通り。x の係数は 3 × (−2) × 3² = −54。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h1-01/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
📄 紙で解くなら プリント（レベルと問題数を選べます）。このページをそのまま印刷しても各レベル 10 問と解答が出ます。