数学Ⅰ ／ 数と式 ／ h1-01
整式の計算 ── 展開・3 次の乗法公式
この単元でできるようになること
- 単項式・多項式・次数・係数・降べきの順、という言葉が使える
- 整式の加法・減法・乗法（指数法則）ができる
- 中学の乗法公式に加えて、(a + b)³・(a − b)³・(a + b)(a² − ab + b²) が使える
- おきかえ・組み合わせを工夫して、複雑な式を速く展開できる
入試での位置づけ
数学Ⅰの最初の単元で、すべての計算の土台です。共通テストでは展開そのものは問われませんが、二次関数・三角比・データの分析など、あらゆる場面で「式を整理する速さと正確さ」が問われます。私立大の一般選抜や国公立二次では、3 次の展開公式や対称式（e3-03 の因数分解とセット）が小問で出ます。
1. 用語の整理
まずここだけ
| 用語 | 意味 | 例 |
|---|---|---|
| 単項式 | 数と文字の積だけでできた式 | 3x²y、−5a |
| 多項式（整式） | 単項式の和 | 2x² + 3x − 1 |
| 項 | 多項式の各単項式 | 2x²、3x、−1 |
| 係数 | 項の数の部分 | 2x² の係数は 2 |
| 次数 | かけ合わされた文字の個数 | 3x²y の次数は 3（x が 2 個、y が 1 個） |
| 多項式の次数 | 最も次数の高い項の次数 | 2x³ + x − 5 は 3 次式 |
| 定数項 | 文字を含まない項 | −5 |
| 同類項 | 文字の部分が同じ項 | 2x² と −5x² |
| 降べきの順 | 次数の高い項から並べる | x³ − 2x² + x − 1 |
「x について」の次数
文字が 2 つ以上あるとき、どの文字に注目するかで次数と係数が変わります。
3x²y + 2xy² − y³ は、x について 2 次式（x² の係数は 3y）、y について 3 次式
2. 加法・減法・乗法
まずここだけ
加法・減法：同類項をまとめる。ひく式はかっこをつけて符号を変える。
(2x² + 3x − 1) − (x² − 4x + 2) = 2x² + 3x − 1 − x² + 4x − 2 = x² + 7x − 3
指数法則（m、n は正の整数）：
| 法則 | 例 |
|---|---|
| aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | x² × x³ = x⁵ |
| (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (x²)³ = x⁶ |
| (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2x)³ = 8x³ |
乗法：分配法則で 1 つずつかけて、同類項をまとめる。
(x + 2)(x² − 3x + 1) = x³ − 3x² + x + 2x² − 6x + 2 = x³ − x² − 5x + 2
3. 乗法公式
まずここだけ
中学の公式（復習）
| 公式 | |
|---|---|
| (a + b)² = a² + 2ab + b² | (a − b)² = a² − 2ab + b² |
| (a + b)(a − b) = a² − b² | (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab |
高校で加わる公式
| 公式 | 例 |
|---|---|
| (ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd | (2x + 3)(3x − 1) = 6x² + 7x − 3 |
| (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca | (x + y + 2)² = x² + y² + 4 + 2xy + 4y + 4x |
| (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8 |
| (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ | (x − 1)³ = x³ − 3x² + 3x − 1 |
| (a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³ | (x + 2)(x² − 2x + 4) = x³ + 8 |
| (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³ | (x − 3)(x² + 3x + 9) = x³ − 27 |
3 乗の公式の覚え方
(a + b)³ の係数は 1・3・3・1。a の次数が 3 → 2 → 1 → 0 と下がり、b の次数が 0 → 1 → 2 → 3 と上がる。(a − b)³ は b の奇数乗の項（3a²b と b³）がマイナス。
a³ + b³ の公式は、「（和）×（2 乗 − 積 + 2 乗）」。真ん中の符号が逆になるのがポイント。
よくある間違い
- (a + b)³ = a³ + b³ としてしまう（× ）→ 真ん中に 3a²b + 3ab² がある
- (a + b)(a² − ab + b²) の真ん中を +ab にする → −ab（和の公式は真ん中マイナス）
- (2x)³ = 2x³ → 8x³（係数も 3 乗）
4. 工夫して展開する
ここまでできれば十分
① おきかえ：共通の部分を 1 つの文字とみなす。
(x + y + 1)(x + y − 1) x + y = A とおくと (A + 1)(A − 1) = A² − 1 = (x + y)² − 1 = x² + 2xy + y² − 1
② 組み合わせを変える：a² − b² の形が作れる組を先にかける。
(x + 1)(x − 1)(x² + 1) = (x² − 1)(x² + 1) = x⁴ − 1 (x + 2)(x − 2)(x² + 4) = (x² − 4)(x² + 4) = x⁴ − 16
③ 順番を変えて公式を使う：
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) → 定数の和が等しい組 (x + 1)(x + 4) と (x + 2)(x + 3) をかけると、どちらも x² + 5x が現れる = (x² + 5x + 4)(x² + 5x + 6) x² + 5x = A として (A + 4)(A + 6) = A² + 10A + 24
もう一歩：(a + b)⁴ など
(a + b)⁴ = {(a + b)²}² = (a² + 2ab + b²)² として (a + b + c)² の公式を使う。または数学Ⅱの二項定理（h2-01）。
5. 自己チェック
- 次数・係数を「どの文字について」か意識したか
- ひく式のかっこを外すとき、すべての項の符号を変えたか
- 3 乗の公式の真ん中（3a²b、3ab²）を落としていないか
- a³ + b³ の公式の真ん中は −ab
- 共通部分をおきかえると公式が使えないか、先に見たか
6. 小テストへ
→ 小テスト（h1-01）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅰ「(1) 数と式 ア(ア) 数と集合、(イ) 式の展開と因数分解」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h1-01/ ／ 更新 2026-09-12