因数分解（たすきがけ・おきかえ・3次） ── 問題
基礎
- 次の式を因数分解しなさい。 6x² + 11x + 3 （ア (2x + 3)(3x + 1) イ 3(x + 1)(2x + 1) ウ (2x − 3)(3x − 1) エ (2x + 3)(3x − 1) undefined (2x − 3)(3x + 1)）
- 次の式を因数分解しなさい。 4x² + 4x − 8 （ア 4(x − 2)(x + 1) イ 4(x − 1)(x + 2) ウ (x − 1)(x + 2)）
- 次の式を因数分解しなさい。 x³ − 27 （ア (x − 3)(x² + 9) イ (x − 3)(x² − 3x + 9) ウ (x − 3)(x² + 3x + 9) エ (x − 3)³）
- 次の式を因数分解しなさい。 (x + y)² + 4(x + y) − 5 （ア (x − 1)(y + 5) イ (x + y − 5)(x + y + 1) ウ (x + y − 1)(x + y + 5) エ (x − y + 5)(x + y − 1)）
- 因数分解の手順として、最初に確かめることはどれですか。 （ア たすきがけができるか イ おきかえができるか ウ 3 次の公式が使えるか エ 共通因数があるか）
標準
- 次の式を因数分解しなさい。 x⁴ − 13x² + 36 （ア (x − 3)²(x − 2)² イ (x − 4)(x − 2)(x + 2)(x + 3) ウ (x − 2)(x + 2)(x² + 9) エ (x + 2)(x + 3)(x² + 6) undefined (x − 3)(x − 2)(x + 2)(x + 3)）
- 次の式を因数分解しなさい。 x² + 6xy + 4x + 9y² + 12y + 3 （ア (x − 3y + 3)(x + 3y + 1) イ (x + 1)(x + 3y + 3) ウ (x + 3y + 1)(x + 3y + 3) エ (x + 3y − 3)(x + 3y − 1)）
- 次の式を因数分解しなさい。 8x³ − 8 （ア 8(x − 1)(x² − x + 1) イ 4(x − 1)(x² + x + 2) ウ 8(x − 1)³ エ 8(x − 1)(x² + x + 1)）
- 次の式を因数分解しなさい。 x² − 5xy − 5x + 6y² + 13y + 6 （ア (x − 3y − 2)(x − 2y − 3) イ (x − 3y − 3)(x − 2y − 2) ウ (x + 2y − 3)(x + 3y − 2) エ (x − 3y + 2)(x − 2y + 3)）
- x⁴ + x² + 1 を因数分解したものはどれですか。 （ア (x² + 1)² イ (x² + x + 1)(x² − x + 1) ウ 因数分解できない エ (x² + 1)(x² − 1)）
発展
- x⁴ + 4 を因数分解したものはどれですか。 （ア (x² + 2)(x² − 2) イ 因数分解できない ウ (x² + 2)² エ (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2)）
- a³ + b³ + c³ − 3abc を因数分解したものはどれですか。 （ア (a + b + c)(a² + b² + c²) イ (a + b + c)³ ウ (a + b)(b + c)(c + a) エ (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)）
- x² + xy − 2y² + 2x + 7y − 3 を因数分解したものはどれですか。 （ア (x + 2y − 1)(x − y + 3) イ (x − 2y + 1)(x + y − 3) ウ (x + 2y + 3)(x − y − 1) エ (x + y − 1)(x − 2y + 3)）
因数分解（たすきがけ・おきかえ・3次） ── 解答
基礎
- ア (2x + 3)(3x + 1) x² の係数 6 と定数項 3 をたすきがけ。真ん中が 11 になる組を探す。(2x + 3)(3x + 1)
- イ 4(x − 1)(x + 2) まず共通因数 4 でくくる。4(x² + x − 2)。かけて −2、たして 1 → 4(x − 1)(x + 2)
- ウ (x − 3)(x² + 3x + 9) x³ ± 3³ の形。a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)、a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)。(x − 3)(x² + 3x + 9)
- ウ (x + y − 1)(x + y + 5) x + y = A とおくと A² + 4A − 5 = (A − 1)(A + 5)。A を戻して (x + y − 1)(x + y + 5)
- エ 共通因数があるか 共通因数を先にくくると、あとの公式・たすきがけが小さい数でできる。
標準
- undefined (x − 3)(x − 2)(x + 2)(x + 3) x² = A とおくと A² − 13A + 36 = (A − 4)(A − 9)。さらに x² − 4、x² − 9 を和と差の積に分ける。(x − 3)(x − 2)(x + 2)(x + 3)
- ウ (x + 3y + 1)(x + 3y + 3) x + 3y = A とおくと A² + 4A + 3 = (A + 1)(A + 3)。(x + 3y + 1)(x + 3y + 3)
- エ 8(x − 1)(x² + x + 1) (2x)³ ± 2³ とみて 3 乗の公式。8(x − 1)(x² + x + 1)
- ア (x − 3y − 2)(x − 2y − 3) x について整理し、定数項（y の式）を因数分解してからたすきがけ。(x − 3y − 2)(x − 2y − 3)
- イ (x² + x + 1)(x² − x + 1) (x² + 1)² − x² と変形して和と差の積。
発展
- エ (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2) (x² + 2)² − 4x² = (x² + 2 + 2x)(x² + 2 − 2x)。
- エ (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) 有名な公式。a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) を使って a + b = A とおき、A³ + c³ − 3ab(A + c) から (A + c) をくくる。
- ア (x + 2y − 1)(x − y + 3) x について整理：x² + (y + 2)x − (2y − 1)(y − 3)。たして y + 2 になる組は (2y − 1) と −(y − 3)。
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