因数分解（たすきがけ・おきかえ・3次） ── 問題
基礎
- 次の式を因数分解しなさい。 6x² + 11x + 3 （ア (2x + 3)(3x + 1) イ 3(x + 1)(2x + 1) ウ (2x − 3)(3x − 1) エ (2x + 3)(3x − 1) undefined (2x − 3)(3x + 1)）
- 次の式を因数分解しなさい。 3x² − 6x − 45 （ア (x − 5)(x + 3) イ 3(x − 3)(x + 5) ウ 3(x − 5)(x + 3)）
- 次の式を因数分解しなさい。 x³ + 1 （ア (x + 1)³ イ (x + 1)(x² + x + 1) ウ (x + 1)(x² − x + 1) エ (x + 1)(x² + 1)）
- 次の式を因数分解しなさい。 (x + y)² + 6(x + y) + 5 （ア (x + 1)(y + 5) イ (x + y − 5)(x + y − 1) ウ (x + y + 1)(x + y + 5) エ (x − y + 5)(x + y + 1)）
- 因数分解の手順として、最初に確かめることはどれですか。 （ア たすきがけができるか イ おきかえができるか ウ 3 次の公式が使えるか エ 共通因数があるか）
標準
- 次の式を因数分解しなさい。 x⁴ − 17x² + 16 （ア (x − 1)(x + 1)(x² + 16) イ (x − 5)(x − 1)(x + 1)(x + 4) ウ (x − 4)(x − 1)(x + 1)(x + 4) エ (x + 1)(x + 4)(x² + 4) undefined (x − 4)²(x − 1)²）
- 次の式を因数分解しなさい。 x² + 4xy + 4x + 4y² + 8y + 3 （ア (x − 2y + 3)(x + 2y + 1) イ (x + 1)(x + 2y + 3) ウ (x + 2y + 1)(x + 2y + 3) エ (x + 2y − 3)(x + 2y − 1)）
- 次の式を因数分解しなさい。 27x³ − 125 （ア (3x − 5)³ イ (3x − 5)(3x² + 5x + 25) ウ (3x − 5)(9x² − 15x + 25) エ (3x − 5)(9x² + 15x + 25)）
- 次の式を因数分解しなさい。 x² + 2xy + x − 3y² + 11y − 6 （ア (x − 3y − 2)(x + y + 3) イ (x − y − 3)(x + 3y + 2) ウ (x − y − 2)(x + 3y + 3) エ (x − y + 3)(x + 3y − 2)）
- x⁴ + x² + 1 を因数分解したものはどれですか。 （ア (x² + 1)² イ (x² + x + 1)(x² − x + 1) ウ 因数分解できない エ (x² + x + 1)(x² − x − 1)）
- 1 辺 x m の正方形の池のまわりに、幅 5 m の道がある。道の面積を S m²、道の真ん中を通る線（正方形）の長さを ℓ m とするとき、S は ℓ の何倍ですか。
- 次の式を因数分解しなさい。 x² + x − y² − y （ア (x + y)(x + y + 1) イ (x + y)(x − y + 1) ウ (x − y)(x + y − 1) エ (x − y)(x + y + 1)）
- Aさん「x² + 2xy + y² − 2x − 2y − 3 を因数分解したい。」 Bさん「x + y = A とおくと、A² − 2A − 3 になるね。」 A をもとに戻した結果として正しいものはどれですか。 （ア (x − y − 3)(x − y + 1) イ (x + y − 3)(x + y + 1) ウ (x + y + 3)(x + y − 1) エ (x + y − 3)(x + y − 1)）
発展
- x⁴ + 4 を因数分解したものはどれですか。 （ア (x² + 2x − 2)(x² − 2x + 2) イ 因数分解できない ウ (x² + 2)² エ (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2)）
- a³ + b³ + c³ − 3abc を因数分解したものはどれですか。 （ア (a + b + c)(a² + b² + c² + ab + bc + ca) イ (a + b + c)³ ウ (a + b)(b + c)(c + a) エ (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)）
- x² + xy − 2y² + 2x + 7y − 3 を因数分解したものはどれですか。 （ア (x + 2y − 1)(x − y + 3) イ (x − 2y + 1)(x + y − 3) ウ (x + 2y + 3)(x − y − 1) エ (x + y − 1)(x − 2y + 3)）
- x² − y² = 64 を満たす自然数の組 (x, y) は何組ありますか。
- 先生「n が整数のとき、n³ − n はいつも 6 の倍数です。理由を説明できますか。」 生徒「n³ − n = (n − 1)n(n + 1) と因数分解できます。だから……」 生徒の説明の続きとして正しいものはどれですか。 （ア n が偶数なら n³ も偶数で、偶数どうしの差は 6 の倍数だから イ n − 1 と n + 1 の差が 2 なので、どちらかが 6 の倍数だから ウ 3 つの整数の積はどれも 6 の倍数になるから エ 連続する 3 つの整数の積なので、2 の倍数と 3 の倍数を必ず 1 つ以上ふくむから）
因数分解（たすきがけ・おきかえ・3次） ── 解答
基礎
- ア (2x + 3)(3x + 1) x² の係数 6 と定数項 3 をたすきがけ。真ん中が 11 になる組を探す。(2x + 3)(3x + 1)
- ウ 3(x − 5)(x + 3) まず共通因数 3 でくくる。3(x² − 2x − 15)。かけて −15、たして −2 → 3(x − 5)(x + 3)
- ウ (x + 1)(x² − x + 1) x³ ± 1³ の形。a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)、a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)。(x + 1)(x² − x + 1)
- ウ (x + y + 1)(x + y + 5) x + y = A とおくと A² + 6A + 5 = (A + 1)(A + 5)。A を戻して (x + y + 1)(x + y + 5)
- エ 共通因数があるか 共通因数を先にくくると、あとの公式・たすきがけが小さい数でできる。
標準
- ウ (x − 4)(x − 1)(x + 1)(x + 4) x² = A とおくと A² − 17A + 16 = (A − 1)(A − 16)。さらに x² − 1、x² − 16 を和と差の積に分ける。(x − 4)(x − 1)(x + 1)(x + 4)
- ウ (x + 2y + 1)(x + 2y + 3) x + 2y = A とおくと A² + 4A + 3 = (A + 1)(A + 3)。(x + 2y + 1)(x + 2y + 3)
- エ (3x − 5)(9x² + 15x + 25) (3x)³ ± 5³ とみて 3 乗の公式。(3x − 5)(9x² + 15x + 25)
- エ (x − y + 3)(x + 3y − 2) x について整理し、定数項（y の式）を因数分解してからたすきがけ。(x − y + 3)(x + 3y − 2)
- イ (x² + x + 1)(x² − x + 1) (x² + 1)² − x² と変形して和と差の積。
- 5 S = (x + 10)² − x² = 10(2x + 10) = 20(x + 5)。ℓ = 4(x + 5) なので S = 5ℓ。答えは 5 倍（道幅と同じ）。
- エ (x − y)(x + y + 1) x² − y² = (x + y)(x − y)、残りは (x − y)。共通因数 x − y でくくって (x − y)(x + y + 1)。
- イ (x + y − 3)(x + y + 1) x² + 2xy + y² = A²、−2x − 2y = −2A。A² − 2A − 3 = (A − 3)(A + 1) に A = x + y を戻す。
発展
- エ (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2) (x² + 2)² − 4x² = (x² + 2 + 2x)(x² + 2 − 2x)。
- エ (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) 有名な公式。a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) を使って a + b = A とおき、A³ + c³ − 3ab(A + c) から (A + c) をくくる。
- ア (x + 2y − 1)(x − y + 3) x について整理：x² + (y + 2)x − (2y − 1)(y − 3)。たして y + 2 になる組は (2y − 1) と −(y − 3)。
- 2 (x + y)(x − y) = 64。x + y > x − y > 0 で、2 つの数の偶奇が同じ（足すと 2x で偶数）になる約数の組を数えると 2 組。
- エ 連続する 3 つの整数の積なので、2 の倍数と 3 の倍数を必ず 1 つ以上ふくむから 連続する 3 整数には偶数が 1 つ以上・3 の倍数が 1 つ必ず入る。2 と 3 は互いに素なので積は 6 の倍数。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h1-02/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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