実数・絶対値・根号の計算（有理化・二重根号） ── 問題
基礎
- 循環小数 0.777… を分数で表しなさい。
- 次の値を求めなさい。 |−1 + √5| （ア −1 + √5 イ 1 + √5 ウ 1 − √5 エ −1 − √5）
- 次の式を簡単にしなさい。 √108 （ア 18√2 イ 36√3 ウ 6√3 エ 3√6）
- 次の式の分母を有理化しなさい。 2/√6 （ア √6/3 イ √6/18 ウ 2√6 エ √6/2）
- 次の計算をしなさい。 (√5 + 4)(√5 − 4) （ア −16 + √5 イ 21 ウ 1 エ −11）
- 次のうち無理数はどれですか。 （ア 0.333… イ 22/7 ウ √8 エ √16）
標準
- 次の式の分母を有理化しなさい。 4/(√7 − √6) （ア 4√6/13 + 4√7/13 イ −4√6 + 4√7 ウ 4√6 + 4√7）
- 次の二重根号を外しなさい。 √(10 + 2√24) （ア √10 + √2 イ 1 + 2√6 ウ 2 + √6 エ −2 + √6）
- 次の二重根号を外しなさい。 √(5 − 2√6) （ア −√2 − √3 イ −√2 + √3 ウ 1 エ √2 − √3 undefined √2 + √3）
- √21 の整数部分を答えなさい。
- a < 0 のとき、√(a²) − √((a − 5)²) を簡単にしなさい。 （ア −5 イ −2a − 5 ウ 5 エ 2a + 5）
- √(4 + √15) を簡単にしたものはどれですか。 （ア (√10 + √6)/2 イ √5 + √3 ウ (√5 + √3)/2 エ 2 + √15）
発展
- 1/(√3 − 1) の整数部分を a、小数部分を b とするとき、b はどれですか。 （ア (√3 + 1)/2 − 1 イ √3 − 1 ウ (√3 − 1)/2 エ (√3 − 3)/2）
- x = √3 + √2、y = √3 − √2 のとき、x² + y² の値はどれですか。 （ア 12 イ 2√6 ウ 10 エ 6）
- 0 < a < 1 のとき、√(a²) + √((a − 1)²) を簡単にしたものはどれですか。 （ア 1 − 2a イ 1 ウ −1 エ 2a − 1）
実数・絶対値・根号の計算（有理化・二重根号） ── 解答
基礎
- 7/9 x = 0.777… とおくと 10x = 7.77…。引いて 9x = 7、x = 7/9。
- ア −1 + √5 √5 > 1 なので、中は正。絶対値は正にして −1 + √5。
- ウ 6√3 108 = 6² × 3 なので √108 = 6√3。
- ア √6/3 分母・分子に √6 をかける。2√6/6 を約分して √6/3。
- エ −11 和と差の積：(√5)² − 4² = 5 − 16 = −11。
- ウ √8 √16 = 4、0.333… = 1/3、22/7 は分数。√8 = 2√2 は分数で表せない。
標準
- ウ 4√6 + 4√7 分母・分子に √7 + √6 をかける。分母は 7 − 6 = 1。4√6 + 4√7
- ウ 2 + √6 たして 10、かけて 24 になる 2 数は 6 と 4。√6 + 2。
- イ −√2 + √3 たして 5、かけて 6 になる 2 数は 3 と 2。大きいほうから引いて √3 − √2（正になるように）。
- 4 16 < 21 < 25 なので 4 < √21 < 5。整数部分は 4。
- ア −5 √(a²) = |a| = −a（a < 0）、√((a − 5)²) = |a − 5| = −(a − 5) = 5 − a（a − 5 < 0）。差は −a − (5 − a) = −5。
- ア (√10 + √6)/2 2√ の形にする：√{(8 + 2√15)/2} = (√5 + √3)/√2 = (√10 + √6)/2。
発展
- ウ (√3 − 1)/2 有理化すると (√3 + 1)/2 ≒ 1.37。整数部分 1、小数部分 (√3 + 1)/2 − 1 = (√3 − 1)/2。選択肢の 3 番目は同じ値だが整理前の形。
- ウ 10 x + y = 2√3、xy = 1。x² + y² = (x + y)² − 2xy = 12 − 2 = 10。
- イ 1 |a| = a、|a − 1| = 1 − a（a − 1 < 0）。和は a + 1 − a = 1。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h1-03/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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