実数・絶対値・根号の計算（有理化・二重根号） ── 問題
基礎
- 循環小数 0.111… を分数で表しなさい。
- 次の値を求めなさい。 |2√2 − 2| （ア −2 − 2√2 イ 2 − 2√2 ウ 2 + 2√2 エ 2√2 − 2）
- 次の式を簡単にしなさい。 √32 （ア 4 イ 8√2 ウ 4√2 エ 16√2）
- 次の式の分母を有理化しなさい。 7/√2 （ア √2/7 イ 7√2 ウ 7√2/2 エ 7√2/4）
- 次の計算をしなさい。 (√7 + 2)(√7 − 2) （ア √7 − 4 イ 5 ウ 3 エ 11）
- 次のうち無理数はどれですか。 （ア 0.333… イ 22/7 ウ √8 エ √16）
標準
- 次の式の分母を有理化しなさい。 1/(√6 + √5) （ア (√6 − √5)/11 イ √5 + √6 ウ √6 − √5）
- 次の二重根号を外しなさい。 √(4 + 2√3) （ア 1 + √3 イ √3 − 1 ウ 2 + √2）
- 次の二重根号を外しなさい。 √(4 − 2√3) （ア 1 − √3 イ √2 ウ √3 − 1 エ 1 + √3 undefined −1 − √3）
- √5 の整数部分を答えなさい。
- a < 0 のとき、√(a²) − √((a − 2)²) を簡単にしなさい。 （ア 2a + 2 イ −2a − 2 ウ −2 エ 2）
- √(4 + √15) を簡単にしたものはどれですか。 （ア (√10 + √6)/2 イ √5 + √3 ウ (√5 + √3)/2 エ 2 + √15）
- √(34 − n) が整数となるような自然数 n は何個ありますか。
- x = 1/(√15 − √14)、y = 1/(√15 + √14) のとき、x² + y² の値を求めなさい。
- Aさん「√(x² − 6x + 9) は √((x − 3)²) だから、x − 3 と簡単にできるね。」 Bさん「それだと困る x があるよ。」 √(x² − 6x + 9) を正しく簡単にしたものはどれですか。 （ア x ≧ 0 のとき x − 3、x < 0 のとき 3 − x イ どんな x でも x − 3 ウ x ≧ 3 のとき x − 3、x < 3 のとき 3 − x エ x ≧ 3 のとき x − 3、x < 3 のとき x + 3）
発展
- 1/(√3 − 1) の整数部分を a、小数部分を b とするとき、b はどれですか。 （ア (√3 + 1)/2 イ √3 − 1 ウ (√3 − 1)/2 エ (√3 − 3)/2）
- x = √3 + √2、y = √3 − √2 のとき、x² + y² の値はどれですか。 （ア 12 イ 2√6 ウ 10 エ 6）
- 0 < a < 1 のとき、√(a²) + √((a − 1)²) を簡単にしたものはどれですか。 （ア 1 − 2a イ 1 ウ −1 エ 2a − 1）
- 先生「p、q が有理数で p + q√3 = 0 ならば p = q = 0 です。これを使います。」 有理数 a、b が (2 + √3)a + (1 − √3)b = 5 を満たすとき、a、b の値として正しいものはどれですか。 （ア a = 5/2、b = 0 イ a = 1、b = 3 ウ a = 5/3、b = −5/3 エ a = b = 5/3）
実数・絶対値・根号の計算（有理化・二重根号） ── 解答
基礎
- 1/9 x = 0.111… とおくと 10x = 1.11…。引いて 9x = 1、x = 1/9。
- エ 2√2 − 2 √8 > 2 なので、中は正。絶対値は正にして 2√2 − 2。
- ウ 4√2 32 = 4² × 2 なので √32 = 4√2。
- ウ 7√2/2 分母・分子に √2 をかける。7√2/2 を約分して 7√2/2。
- ウ 3 和と差の積：(√7)² − 2² = 7 − 4 = 3。
- ウ √8 √16 = 4、0.333… = 1/3、22/7 は分数。√8 = 2√2 は分数で表せない。
標準
- ウ √6 − √5 分母・分子に √6 − √5 をかける。分母は 6 − 5 = 1。√6 − √5
- ア 1 + √3 たして 4、かけて 3 になる 2 数は 3 と 1。√3 + 1。
- ウ √3 − 1 たして 4、かけて 3 になる 2 数は 3 と 1。大きいほうから引いて √3 − 1（正になるように）。
- 2 4 < 5 < 9 なので 2 < √5 < 3。整数部分は 2。
- ウ −2 √(a²) = |a| = −a（a < 0）、√((a − 2)²) = |a − 2| = −(a − 2) = 2 − a（a − 2 < 0）。差は −a − (2 − a) = −2。
- ア (√10 + √6)/2 2√ の形にする：√{(8 + 2√15)/2} = (√5 + √3)/√2 = (√10 + √6)/2。
- 6 34 − n が 0、1、4、9、… のような平方数になればよい。n ≧ 1 より 34 − n ≦ 33。33 以下の平方数（0 をふくむ）を数えて 6 個。
- 58 有理化すると x = √15 + √14、y = √15 − √14。x + y = 2√15、xy = 15 − 14 = 1。x² + y² = (x + y)² − 2xy = 60 − 2 = 58。
- ウ x ≧ 3 のとき x − 3、x < 3 のとき 3 − x √(a²) = |a|。|x − 3| は x − 3 の符号で場合分けする。x = 1 なら √4 = 2 で、x − 3 = −2 とは合わない。
発展
- ウ (√3 − 1)/2 有理化すると (√3 + 1)/2 ≒ 1.37。整数部分 1、小数部分 (√3 + 1)/2 − 1 = (√3 − 1)/2。
- ウ 10 x + y = 2√3、xy = 1。x² + y² = (x + y)² − 2xy = 12 − 2 = 10。
- イ 1 |a| = a、|a − 1| = 1 − a（a − 1 < 0）。和は a + 1 − a = 1。
- エ a = b = 5/3 整理すると (2a + b − 5) + (a − b)√3 = 0。有理数部分と √3 の係数がともに 0 なので a = b、3a = 5。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h1-03/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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