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小テスト ／ h1-05

集合と命題（必要条件・十分条件・対偶・背理法）

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集合と命題（必要条件・十分条件・対偶・背理法） ── 問題

基礎

  1. 1 から 100 までの整数のうち、2 の倍数または 5 の倍数であるものは何個ありますか。
  2. 1 から 60 までの整数のうち、3 の倍数でも 5 の倍数でもないものは何個ありますか。
  3. 条件「ある x について x + 1 = 0」の否定はどれですか。　（ア すべての x について x + 1 = 0　イ ある x について x + 1 ≠ 0　ウ x = −1　エ すべての x について x + 1 ≠ 0）
  4. x は実数とする。次の命題は真ですか、偽ですか。偽なら反例を選びなさい。 「x = 1 ⇒ x² = x」　（ア 偽（反例 x = 0）　イ 真　ウ 偽（反例 x = 1）　エ 偽（反例 x = −1））
  5. A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}、B = {2, 3, 5, 6} のとき、A ∩ B はどれですか。　（ア {2, 3, 6}　イ {1, 4, 12}　ウ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12}　エ {5}）

標準

  1. x は実数とする。「x² = 4」は「x = 2」であるための何条件ですか。　（ア 必要条件でも十分条件でもない　イ 必要十分条件　ウ 十分条件であるが必要条件ではない　エ 必要条件であるが十分条件ではない）
  2. 命題「x = 2 ⇒ x² = 4」の裏はどれですか。　（ア x ≠ 2 ⇒ x² ≠ 4　イ x² ≠ 4 ⇒ x ≠ 2　ウ x² = 4 ⇒ x = 2）
  3. 命題「p ⇒ q」が真であるとき、必ず真であるものはどれですか。　（ア 対偶 q̄ ⇒ p̄　イ 逆と裏の両方　ウ 裏 p̄ ⇒ q̄　エ 逆 q ⇒ p）
  4. 「n² が偶数ならば n は偶数」を証明するとき、対偶を使うと示すべき命題はどれですか。　（ア n が偶数ならば n² は偶数　イ n が奇数ならば n² は奇数　ウ n² が奇数ならば n は奇数　エ n が奇数ならば n² は偶数）
  5. 全体集合 U = {1, 2, …, 10}、A = {2, 4, 6, 8, 10}、B = {3, 6, 9} のとき、Ā ∩ B̄ はどれですか。　（ア {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}　イ {6}　ウ {1, 3, 5, 7, 9}　エ {1, 5, 7}）

発展

  1. √2 が無理数であることを背理法で証明するとき、最初におく仮定はどれですか。　（ア √2 = 1.414… である　イ √2 は無理数である　ウ m、n はともに偶数である　エ √2 は有理数である（互いに素な自然数 m、n で √2 = m/n と書ける））
  2. x、y は実数とする。「x + y > 2 かつ xy > 1」は「x > 1 かつ y > 1」であるための何条件ですか。　（ア 十分条件であるが必要条件ではない　イ 必要条件であるが十分条件ではない　ウ 必要十分条件　エ 必要条件でも十分条件でもない）
  3. 40 人のクラスで、数学が好きな人 25 人、英語が好きな人 18 人、どちらも好きでない人 5 人。両方好きな人は何人ですか。　（ア 13 人　イ 8 人　ウ 3 人　エ 10 人）

集合と命題（必要条件・十分条件・対偶・背理法） ── 解答

基礎

  1. 60　2 の倍数 50 個、5 の倍数 20 個、両方（10 の倍数）10 個。n(A ∪ B) = 50 + 20 − 10 = 60。
  2. 32　「3 の倍数でも 5 の倍数でもない」は (A ∪ B) の補集合。60 − n(A ∪ B) = 60 − 28 = 32。
  3. エ　すべての x について x + 1 ≠ 0　「>」の否定は「≦」、「かつ」⇔「または」、「すべて」⇔「ある」が入れかわる。すべての x について x + 1 ≠ 0
  4. イ　真　反例は「仮定を満たすが結論を満たさない」もの。負の数・0 を試す。真
  5. ア　{2, 3, 6}　∩ は両方に属する要素。

標準

  1. エ　必要条件であるが十分条件ではない　p ⇒ q と q ⇒ p の真偽を反例で確かめる。矢印の出発点が十分、行き先が必要。必要条件であるが十分条件ではない
  2. ア　x ≠ 2 ⇒ x² ≠ 4　逆は入れかえ、裏は両方否定、対偶は入れかえて両方否定。x ≠ 2 ⇒ x² ≠ 4
  3. ア　対偶 q̄ ⇒ p̄　対偶の真偽はもとの命題と一致する。逆・裏は無関係。
  4. イ　n が奇数ならば n² は奇数　対偶：「n が偶数でない（奇数）⇒ n² が偶数でない（奇数）」。n = 2k + 1 で計算できる。
  5. エ　{1, 5, 7}　Ā ∩ B̄ = (A ∪ B) の補集合。A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10} の残り。

発展

  1. エ　√2 は有理数である（互いに素な自然数 m、n で √2 = m/n と書ける）　結論の否定「有理数である」を仮定し、m、n がともに偶数になって「互いに素」に矛盾することを導く。
  2. イ　必要条件であるが十分条件ではない　x > 1 かつ y > 1 ⇒ x + y > 2 かつ xy > 1 は真。逆は偽（反例 x = 3、y = 1/2：和 3.5 > 2、積 1.5 > 1 だが y < 1）。よって必要条件。
  3. イ　8 人　少なくとも一方が好き：40 − 5 = 35。n(A ∩ B) = 25 + 18 − 35 = 8。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h1-05/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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