数学Ⅰ ／ 数と式 ／ h1-05

更新 2026-09-12

集合と命題 ── 必要条件・十分条件・対偶・背理法

この単元でできるようになること

• 集合の記号（∈、⊂、∩、∪、補集合）と、ベン図で共通部分・和集合が数えられる
• ド・モルガンの法則が使える
• 命題「p ⇒ q」の真偽を、反例で判断できる
• 必要条件・十分条件・必要十分条件を、集合の包含関係で判定できる
• 逆・裏・対偶を作れ、「対偶の真偽はもとの命題と一致する」を使って証明できる
• 背理法の型がわかる

入試での位置づけ

「必要条件・十分条件」は共通テスト数学Ⅰ・A のほぼ毎年出る小問です。集合の要素の個数（ベン図）も同様。対偶・背理法は記述式の証明（√2 が無理数、など）で使われ、国公立二次で問われます。この単元は計算が少ないぶん、言葉の定義を正確に覚えることがすべてです。

1. 集合

まずここだけ

表し方：要素を書き並べる {1, 2, 3}、条件で書く {x | x は 6 の正の約数}。

要素の個数

n(A) で A の要素の個数を表す。

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)（重なりを 1 回引く）

1〜100 の整数で、3 の倍数または 5 の倍数は何個か。 n(A) = 33、n(B) = 20、n(A ∩ B) = 15 の倍数の個数 = 6 n(A ∪ B) = 33 + 20 − 6 = 47 どちらの倍数でもない：100 − 47 = 53

ド・モルガンの法則

(A ∩ B) の補集合 = Ā ∪ B̄（「かつ」の否定は「または」） (A ∪ B) の補集合 = Ā ∩ B̄（「または」の否定は「かつ」）

「3 の倍数でも 5 の倍数でもない」= Ā ∩ B̄ = (A ∪ B) の補集合。

2. 命題と条件

まずここだけ

命題：正しいか正しくないかが決まる文。「p ならば q」を p ⇒ q と書き、p を仮定、q を結論という。

真偽の判定：

• p ⇒ q が偽であることを示すには、反例（p を満たすが q を満たさない例）を 1 つ挙げればよい
• 真であることを示すには、すべての場合で成り立つことを示す

「x = 2 ⇒ x² = 4」は真 「x² = 4 ⇒ x = 2」は偽（反例：x = −2）

条件の否定

「かつ」⇔「または」、「すべて」⇔「ある」が入れかわる。

3. 必要条件・十分条件 ── ここが一番の差

まずここだけ

p ⇒ q が真のとき、

• p は q であるための十分条件（p が成り立てば q には十分）
• q は p であるための必要条件（p が成り立つには q が必要）

p ⇒ q と q ⇒ p の両方が真なら、p は q であるための必要十分条件（p ⇔ q、同値）。

判定の手順

1. p ⇒ q は真か？（反例を探す）
2. q ⇒ p は真か？（反例を探す）
3. 表で判定

集合で考える

p を満たすものの集合を P、q を満たすものの集合を Q とすると、

p ⇒ q が真 ⇔ P ⊂ Q

小さい集合（P）は大きい集合（Q）の十分条件、大きい集合は小さい集合の必要条件。

「x = 2」は「x² = 4」であるための？ P = {2}、Q = {2, −2}。P ⊂ Q なので p ⇒ q は真、q ⇒ p は偽。十分条件（必要ではない）

「x > 0」は「x > 3」であるための？ P = {x > 0}、Q = {x > 3}。Q ⊂ P。q ⇒ p は真、p ⇒ q は偽（反例 x = 1）。必要条件（十分ではない）

覚え方

「矢印の出発点が十分、行き先が必要」。p → q なら p が十分、q が必要。「十分 → 必要」の向き。

よくある間違い

• 「必要」と「十分」を逆にする → 集合の大小で確かめる（小 ⊂ 大：小が十分、大が必要）
• 反例を探さずに「なんとなく真」と判断する → 負の数・0・1 を代入して確かめる

4. 逆・裏・対偶

ここまでできれば十分

命題 p ⇒ q に対して、

命題「x = 2 ⇒ x² = 4」（真） 逆「x² = 4 ⇒ x = 2」（偽：反例 x = −2） 裏「x ≠ 2 ⇒ x² ≠ 4」（偽：反例 x = −2） 対偶「x² ≠ 4 ⇒ x ≠ 2」（真）

逆と裏は互いに対偶の関係なので、真偽が一致します。

対偶を使った証明

「n² が偶数 ⇒ n は偶数」を直接示すのは難しい。対偶「n が奇数 ⇒ n² は奇数」を示す。

n = 2k + 1 とおくと n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 で奇数。対偶が真なので、もとの命題も真。

結論の否定のほうが扱いやすいとき（「〜でない」「奇数」「無理数」）に対偶を使う。

5. 背理法

ここまでできれば十分

「結論が成り立たないと仮定して、矛盾を導く」証明法。

√2 が無理数であることの証明 √2 が有理数だと仮定すると、互いに素な自然数 m、n を使って √2 = m/n と書ける。 両辺 2 乗して 2n² = m²。m² は偶数なので m は偶数（4 節の命題）。m = 2k とおくと 2n² = 4k²、n² = 2k²。n² は偶数なので n も偶数。 m、n がともに偶数となり、「互いに素」に矛盾。よって √2 は無理数。

型

1. 「〜でない」と仮定する
2. 計算・推論を進める
3. 仮定や既知の事実と矛盾することを示す
4. 「したがって〜である」

「無理数である」「解を持たない」「〜は存在しない」など、否定形の結論を示すときに使う。

6. 自己チェック

1. n(A ∪ B) で重なりを引いたか
2. 「かつ」の否定は「または」（ド・モルガン）
3. 必要・十分は「矢印の出発点が十分、行き先が必要」「小さい集合が十分」
4. 反例を探したか（負の数・0・1）
5. 対偶は「入れかえて両方否定」。逆・裏はもとと無関係
6. 背理法は「〜でないと仮定」→ 矛盾

7. 小テストへ

→ 小テスト（h1-05）

関連する単元

• 前提：中2 m2-09 図形の証明（仮定と結論）
• 次に進む：h1-06 二次関数のグラフ
• ここで使う考え方が出てくる：ha-01〜04 場合の数と確率（集合の個数）、h2-02 解と係数（必要十分）、hb-03 数学的帰納法

参考資料

• 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅰ「(1) 数と式 ア(ア) 数と集合（集合と命題）」

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h1-05/ ／ 更新 2026-09-12

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