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小テスト ／ h1-05

集合と命題（必要条件・十分条件・対偶・背理法）

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集合と命題（必要条件・十分条件・対偶・背理法） ── 問題

基礎

  1. 1 から 50 までの整数のうち、4 の倍数または 5 の倍数であるものは何個ありますか。
  2. 1 から 50 までの整数のうち、4 の倍数でも 5 の倍数でもないものは何個ありますか。
  3. 条件「x > 1 かつ y > 1」の否定はどれですか。　（ア x ≦ 1 かつ y ≦ 1　イ x < 1 または y < 1　ウ x ≦ 1 または y ≦ 1　エ x > 1 または y > 1）
  4. x は実数とする。次の命題は真ですか、偽ですか。偽なら反例を選びなさい。 「x = 3 ⇒ x² = 9」　（ア 偽（反例 x = 3）　イ 真　ウ 偽（反例 x = −3）　エ 偽（反例 x = 0））
  5. A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}、B = {2, 3, 5, 6} のとき、A ∩ B はどれですか。　（ア {2, 3, 6}　イ {1, 4, 12}　ウ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12}　エ {5}）

標準

  1. x は実数とする。「xy > 0」は「x > 0 かつ y > 0」であるための何条件ですか。　（ア 十分条件であるが必要条件ではない　イ 必要十分条件　ウ 必要条件でも十分条件でもない　エ 必要条件であるが十分条件ではない）
  2. 命題「x = 2 ⇒ x² = 4」の裏はどれですか。　（ア x² ≠ 4 ⇒ x ≠ 2　イ x² = 4 ⇒ x = 2　ウ x ≠ 2 ⇒ x² ≠ 4）
  3. 命題「p ⇒ q」が真であるとき、必ず真であるものはどれですか。　（ア 対偶 q̄ ⇒ p̄　イ 逆と裏の両方　ウ 裏 p̄ ⇒ q̄　エ 逆 q ⇒ p）
  4. 「n² が偶数ならば n は偶数」を証明するとき、対偶を使うと示すべき命題はどれですか。　（ア n が偶数ならば n² は偶数　イ n が奇数ならば n² は奇数　ウ n² が奇数ならば n は奇数　エ n が奇数ならば n² は偶数）
  5. 全体集合 U = {1, 2, …, 10}、A = {2, 4, 6, 8, 10}、B = {3, 6, 9} のとき、Ā ∩ B̄ はどれですか。　（ア {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}　イ {6}　ウ {1, 3, 5, 7, 9}　エ {1, 5, 7}）
  6. 1 から 176 までの整数のうち、2、5、7 の少なくとも 1 つで割り切れるものは何個ありますか。
  7. Aさん「『このクラスの全員が数学を好きだ』の否定は『全員が数学を嫌いだ』だよね。」 Bさん「それは違うよ。」 『このクラスの全員が数学を好きだ』の否定として正しいものはどれですか。　（ア 数学を好きな人が少なくとも 1 人いる　イ 数学を好きな人はクラスに 1 人もいない　ウ クラスの全員が数学を好きではない　エ 数学を好きでない人が少なくとも 1 人いる）
  8. ある店の説明によると、『会員カードを持っている』は『割引を受けられる』ための十分条件だが、必要条件ではない。 このことから言えることとして正しいものはどれですか。　（ア カードの有無と割引は関係がない　イ カードを持っていても割引を受けられない場合がある　ウ 割引を受けた人は全員カードを持っている　エ カードがなくても割引を受けられる場合がある）

発展

  1. √2 が無理数であることを背理法で証明するとき、最初におく仮定はどれですか。　（ア √2 = 1.414… と小数で表せる　イ √2 は無理数である　ウ √2 = m/n（m、n はともに偶数）と書ける　エ √2 = m/n（m、n は互いに素な自然数）と書ける）
  2. x、y は実数とする。「x + y > 2 かつ xy > 1」は「x > 1 かつ y > 1」であるための何条件ですか。　（ア 十分条件であるが必要条件ではない　イ 必要条件であるが十分条件ではない　ウ 必要十分条件　エ 必要条件でも十分条件でもない）
  3. 40 人のクラスで、数学が好きな人 25 人、英語が好きな人 18 人、どちらも好きでない人 5 人。両方好きな人は何人ですか。　（ア 13 人　イ 8 人　ウ 3 人　エ 10 人）
  4. 48 人にアンケートをとった。質問 A に「はい」と答えた人は 40 人、質問 B に「はい」と答えた人は 36 人だった。A と B の両方に「はい」と答えた人は、少なくとも何人いますか。
  5. Aさん「命題『x + y が無理数ならば、x、y の少なくとも一方は無理数』を証明したい。」 Bさん「対偶を考えると、有理数どうしの計算になって簡単だよ。」 Bさんの言う対偶として正しいものはどれですか。　（ア x + y が有理数ならば、x、y はともに有理数　イ x、y がともに有理数ならば、x + y は有理数　ウ x、y の少なくとも一方が無理数ならば、x + y は無理数　エ x、y がともに無理数ならば、x + y は有理数）

集合と命題（必要条件・十分条件・対偶・背理法） ── 解答

基礎

  1. 20　4 の倍数 12 個、5 の倍数 10 個、両方（20 の倍数）2 個。n(A ∪ B) = 12 + 10 − 2 = 20。
  2. 30　「4 の倍数でも 5 の倍数でもない」は (A ∪ B) の補集合。50 − n(A ∪ B) = 50 − 20 = 30。
  3. ウ　x ≦ 1 または y ≦ 1　「>」の否定は「≦」、「かつ」⇔「または」、「すべて」⇔「ある」が入れかわる。x ≦ 1 または y ≦ 1
  4. イ　真　反例は「仮定を満たすが結論を満たさない」もの。負の数・0 を試す。真
  5. ア　{2, 3, 6}　∩ は両方に属する要素。

標準

  1. エ　必要条件であるが十分条件ではない　p ⇒ q と q ⇒ p の真偽を反例で確かめる。矢印の出発点が十分、行き先が必要。必要条件であるが十分条件ではない
  2. ウ　x ≠ 2 ⇒ x² ≠ 4　逆は入れかえ、裏は両方否定、対偶は入れかえて両方否定。x ≠ 2 ⇒ x² ≠ 4
  3. ア　対偶 q̄ ⇒ p̄　対偶の真偽はもとの命題と一致する。逆・裏は無関係。
  4. イ　n が奇数ならば n² は奇数　対偶：「n が偶数でない（奇数）⇒ n² が偶数でない（奇数）」。n = 2k + 1 で計算できる。
  5. エ　{1, 5, 7}　Ā ∩ B̄ = (A ∪ B) の補集合。A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10} の残り。
  6. 116　2・5・7 の倍数の個数を足し、2 つずつの公倍数（10・35・14 の倍数）を引き、3 つの公倍数（70 の倍数）を足し戻す。116 個。
  7. エ　数学を好きでない人が少なくとも 1 人いる　「すべて〜である」の否定は「〜でないものが少なくとも 1 つある」。1 人でも好きでない人がいれば、もとの文は成り立たない。
  8. エ　カードがなくても割引を受けられる場合がある　十分条件なので「カードあり ⇒ 割引」は成り立つ。必要条件ではないので「割引 ⇒ カードあり」は成り立たず、カードなしで割引の人がいる。

発展

  1. エ　√2 = m/n（m、n は互いに素な自然数）と書ける　結論の否定「√2 は有理数（互いに素な自然数 m、n で √2 = m/n）」を仮定し、m、n がともに偶数になって「互いに素」に矛盾することを導く。
  2. イ　必要条件であるが十分条件ではない　x > 1 かつ y > 1 ⇒ x + y > 2 かつ xy > 1 は真。逆は偽（反例 x = 3、y = 1/2：和 3.5 > 2、積 1.5 > 1 だが y < 1）。よって必要条件。
  3. イ　8 人　少なくとも一方が好き：40 − 5 = 35。n(A ∩ B) = 25 + 18 − 35 = 8。
  4. 28　A または B に「はい」の人数は 40 + 36 − (両方) で、これは 48 人以下。両方 ≧ 40 + 36 − 48 = 28。
  5. イ　x、y がともに有理数ならば、x + y は有理数　対偶は「q でない ⇒ p でない」。「少なくとも一方は無理数」の否定は「ともに有理数」、「x + y が無理数」の否定は「x + y が有理数」。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h1-05/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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