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小テスト ／ h1-07

二次関数の最大・最小（定義域・軸の場合分け）

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二次関数の最大・最小（定義域・軸の場合分け） ── 問題

基礎

  1. 二次関数 y = −x² + 4x − 8 の最大値または最小値を答えなさい。　（ア x = 2 で最小値 −4（最大値はない）　イ x = 2 で最大値 −4（最小値はない）　ウ x = −4 で最大値 2（最小値はない）　エ x = −2 で最大値 −4（最小値はない））
  2. 二次関数 y = x² − 2x − 2（−1 ≦ x ≦ 3）の最小値を答えなさい。　（ア x = −1 のとき 1　イ x = 1 のとき −3　ウ x = 1 のとき −2　エ x = 1 のとき 3　undefined x = 3 のとき 1）
  3. 二次関数 y = x² − 2x + 5（1 ≦ x ≦ 5）の最大値を答えなさい。　（ア x = 1 のとき 4　イ x = 5 のとき 21　ウ x = 5 のとき 12　エ x = 5 のとき 20）
  4. 二次関数 y = x² + 2x + 4（0 ≦ x ≦ 3）の最小値と最大値を答えなさい。　（ア 最小値 3（x = −1）、最大値はない　イ 最小値 19（x = 3）、最大値 4（x = 0）　ウ 最小値 3（x = −1）、最大値 19（x = 3）　エ 最小値 4（x = 0）、最大値 19（x = 3））
  5. y = −2x² + 4x + 1 の最大値・最小値について正しいものはどれですか。　（ア 最大値も最小値もない　イ x = −1 で最大値 3、最小値はない　ウ x = 1 で最小値 3、最大値はない　エ x = 1 で最大値 3、最小値はない）

標準

  1. a は定数とする。二次関数 y = x² − 2ax + 5（0 ≦ x ≦ 4）の最小値を、a の値で場合分けして求めたものはどれですか。　（ア a < 0 のとき 5、0 ≦ a ≦ 4 のとき −a² + 5、a > 4 のとき 21 − 8a　イ a < 2 のとき 5、a ≧ 2 のとき 21 − 8a　ウ a < 0 のとき 21 − 8a、0 ≦ a ≦ 4 のとき −a² + 5、a > 4 のとき 5　エ すべての a について −a² + 5）
  2. a は定数とする。二次関数 y = x² − 2ax + 3（0 ≦ x ≦ 4）の最大値を、a の値で場合分けして求めたものはどれですか。　（ア a < 2 のとき 19 − 8a、a ≧ 2 のとき 3　イ a < 2 のとき 3、a ≧ 2 のとき 19 − 8a　ウ すべての a について 19 − 8a　エ a < 0 のとき 3、0 ≦ a ≦ 4 のとき −a² + 3、a > 4 のとき 19 − 8a）
  3. 二次関数 y = x² + 2x + c（−3 ≦ x ≦ 2）の最大値が 9 であるとき、定数 c の値を答えなさい。
  4. y = x² − 4x + 5（a ≦ x ≦ a + 2）の最小値が 1 になる a の範囲はどれですか。　（ア 0 ≦ a ≦ 2　イ a ≦ 0　ウ a ≧ 2　エ a = 2）
  5. y = x² − 4x + 5（3 ≦ x ≦ 5）の最小値と最大値の組み合わせはどれですか。　（ア 最小値 1（x = 2）、最大値 10（x = 5）　イ 最小値 2（x = 3）、最大値 5（x = 0）　ウ 最小値 1（x = 2）、最大値 2（x = 3）　エ 最小値 2（x = 3）、最大値 10（x = 5））
  6. 地上 12 m の高さから真上に投げ上げたボールの t 秒後の高さは h = −5t² + 30t + 12（m）で表される。ボールが最も高くなるときの高さは何 m ですか。
  7. 長さ 40 m のロープで、まっすぐな壁を 1 辺として利用し、残りの 3 辺をロープで囲んで長方形の畑を作る。畑の面積の最大値はどれですか。　（ア 300 m²　イ 400 m²　ウ 100 m²　エ 200 m²）

発展

  1. y = −x² + 2ax（0 ≦ x ≦ 2）の最大値が 3 になる a の値はどれですか。　（ア a = √3 または 7/4　イ a = 3/2　ウ a = √3　エ a = 7/4）
  2. y = x² − 2ax + 3（0 ≦ x ≦ 2）の最小値を m(a) とする。m(a) が最大になる a の値の範囲はどれですか。　（ア 0 ≦ a ≦ 2　イ a = 0　ウ a ≧ 2　エ a ≦ 0）
  3. 周の長さが 20 の長方形で、面積が最大になるときの面積はどれですか。　（ア 100　イ 24　ウ 20　エ 25）
  4. ある商品を 1 個 100 円で売ると 1 日に 140 個売れる。10 円値上げするごとに、売れる個数は 5 個ずつ減る。1 日の売上金額が最大になるのは、1 個何円で売るときですか。
  5. x ≧ 0、y ≧ 0、x + y = 3 のとき、x² + 2y² の最小値を求めなさい。
  6. 先生「y = x² − 2ax + 1（0 ≦ x ≦ 2）の最大値を求めましょう。」 生徒A「軸 x = a が区間の中か外かで場合分けかな。」 生徒B「最大値は軸から遠い方の端で決まるから、区間の真ん中 x = 1 と軸を比べればいいよ。」 最大値として正しいものはどれですか。　（ア a < 1 のとき 1、a ≧ 1 のとき 5 − 4a　イ すべての a で 5 − 4a　ウ a < 1 のとき 5 − 4a、a ≧ 1 のとき 1　エ a < 0 のとき 1、0 ≦ a ≦ 2 のとき 1 − a²、a > 2 のとき 5 − 4a）

二次関数の最大・最小（定義域・軸の場合分け） ── 解答

基礎

  1. イ　x = 2 で最大値 −4（最小値はない）　平方完成すると y = −(x − 2)² − 4。上に凸なので頂点で最大。x = 2 で最大値 −4（最小値はない）
  2. イ　x = 1 のとき −3　y = (x − 1)² − 3、軸 x = 1 は定義域の中。下に凸なので頂点で最小。x = 1 のとき −3
  3. エ　x = 5 のとき 20　軸 x = 1 は定義域の中。下に凸なので最大は軸から遠いほうの端。x = 1 で 4、x = 5 で 20。x = 5 のとき 20
  4. エ　最小値 4（x = 0）、最大値 19（x = 3）　軸 x = −1 は定義域の左外。範囲内でグラフは右上がりなので、両端で最小・最大。最小値 4（x = 0）、最大値 19（x = 3）
  5. エ　x = 1 で最大値 3、最小値はない　−2(x − 1)² + 3。上に凸なので頂点で最大。

標準

  1. ア　a < 0 のとき 5、0 ≦ a ≦ 4 のとき −a² + 5、a > 4 のとき 21 − 8a　y = (x − a)² − a² + 5、軸 x = a。軸が定義域の左（a < 0）なら x = 0 で 5、中（0 ≦ a ≦ 4）なら頂点で −a² + 5、右（a > 4）なら x = 4 で 21 − 8a。
  2. ア　a < 2 のとき 19 − 8a、a ≧ 2 のとき 3　下に凸の最大は軸から遠いほうの端。定義域の中央 x = 2 で分ける。a < 2 なら x = 4 で 19 − 8a、a ≧ 2 なら x = 0 で 3。
  3. 0　軸 x = −1。最大は軸から遠い端 x = 2 で、値は 9 + c。9 + c = 9 より c = 0。
  4. ア　0 ≦ a ≦ 2　頂点 (2, 1)。最小値が頂点の値 1 になるのは、軸 x = 2 が定義域 a ≦ x ≦ a + 2 に含まれるとき：a ≦ 2 ≦ a + 2 → 0 ≦ a ≦ 2。
  5. エ　最小値 2（x = 3）、最大値 10（x = 5）　軸 x = 2 は定義域の左外。範囲内では右上がり。x = 3 で 2、x = 5 で 10。
  6. 57　h = −5(t − 3)² + 57 と平方完成できるので、t = 3 のとき最大で 57 m。
  7. エ　200 m²　壁に垂直な辺を x m とすると、壁と平行な辺は 40 − 2x m。面積 x(40 − 2x) = −2(x − 10)² + 200 で最大 200。4 辺とも囲むと考えると 100 になる。

発展

  1. ウ　a = √3　軸 x = a。0 ≦ a ≦ 2 のとき最大は頂点 a² = 3 → a = √3 ✓。a > 2 のとき x = 2 で 4a − 4 = 3 → a = 7/4（a > 2 を満たさない）。a < 0 のとき x = 0 で 0 ≠ 3。
  2. エ　a ≦ 0　m(a) は a < 0 で 3、0 ≦ a ≦ 2 で −a² + 3（a = 0 で 3、a が大きいほど減少）、a > 2 で 7 − 4a（3 未満）。最大値 3 になるのは a ≦ 0。
  3. エ　25　縦 x、横 10 − x（0 < x < 10）。面積 S = x(10 − x) = −(x − 5)² + 25。x = 5 で最大 25。
  4. 190　10 円の値上げを m 回すると、売上は (100 + 10m)(140 − 5m) 円。展開して平方完成すると m = 9 のとき最大。価格は 100 + 10 × 9 = 190 円。
  5. 6　y = 3 − x を代入すると x² + 2(3 − x)²（0 ≦ x ≦ 3）。x の二次関数として平方完成すると軸は x = 2 で、区間の中にあるのでそこで最小。最小値 6。
  6. ウ　a < 1 のとき 5 − 4a、a ≧ 1 のとき 1　端の値は x = 0 で 1、x = 2 で 5 − 4a。軸 x = a が真ん中 1 より左なら遠い端は x = 2、右なら x = 0。1 − a² は最小値の式。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h1-07/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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