二次方程式・判別式・解と係数 ── 問題
基礎
- 二次方程式 x² − 3x − 4 = 0 を解きなさい。 （ア x = 1、−4 イ x = −1、4 ウ x = −1、−4）
- 二次方程式 x² − 6x + 4 = 0 を解きなさい。 （ア x = 6 ± √5 イ x = 3 ± √5 ウ x = 3 ± √13 エ x = −3 ± √5）
- 二次方程式 3x² − 6x − 1 = 0 の実数解の個数を答えなさい。 （ア 2 個 イ 1 個（重解） ウ 0 個）
- 二次関数 y = −2x² − 5x + 3 のグラフと x 軸の共有点の個数を答えなさい。 （ア 0 個（共有点なし） イ 1 個（接する） ウ 2 個）
- 二次方程式 ax² + bx + c = 0 が重解を持つ条件はどれですか。 （ア b² − 4ac = 0 イ b² − 4ac < 0 ウ b = 0 エ b² − 4ac > 0）
標準
- 二次方程式 x² − 2x + k = 0 が重解を持つような定数 k の範囲（または値）を求めなさい。 （ア k = −2 イ k = 4 ウ k = 1 エ k = −1）
- 二次関数 y = x² − 2x + k のグラフが x 軸と共有点を持たないような定数 k の範囲（または値）を求めなさい。 （ア k ≧ 1 イ k > 1 ウ k > −2 エ k < 1）
- 二次関数 y = x² − 4x − 12 のグラフが x 軸から切り取る線分の長さを答えなさい。
- 放物線 y = x² + 4 と直線 y = 2x + k が接するような定数 k の値を求めなさい。 （ア k = 3 イ k = 0 ウ k = 5 エ k = −5）
- 放物線 y = x² + 1 と直線 y = 2x + 4 の交点の座標はどれですか。 （ア (−3, 10)、(1, 2) イ (3, 9)、(−1, 1) ウ (3, 10)、(−1, 2) エ (3, 10)、(1, 2)）
- 二次方程式 x² + 2x − 2 = 0 の 2 つの解を α、β とするとき、α² + β² の値を求めなさい。
- 二次方程式 x² − 2x + k = 0 の 2 つの解の差が 2 であるとき、定数 k の値を求めなさい。
- Aさん「x² + 2x + k = 0 が異なる 2 つの実数解をもつ条件は、判別式 D > 0 だね。」 Bさん「問題は『実数解をもつ』だから、条件が少し変わるよ。」 x² + 2x + k = 0 が実数解をもつような k の範囲として正しいものはどれですか。 （ア k < 1 イ k ≦ 1 ウ k ≧ 1 エ k = 1）
- 縦 20 m、横 30 m の長方形の土地に、同じ幅の道を縦と横に 1 本ずつ通し、残りの畑の面積を 504 m² にしたい。道幅として正しいものはどれですか。 （ア 2 m イ 2 m または 48 m ウ 4 m エ 48 m）
発展
- 方程式 ax² + 2x + 1 = 0 が実数解を持つような a の範囲はどれですか。 （ア a < 1 イ a ≦ 1 かつ a ≠ 0 ウ a ≦ 1 エ a ≧ 1）
- 二次関数 y = x² − 2(k + 1)x + k² + 3 のグラフが x 軸と接するときの k の値はどれですか。 （ア k = 1 イ k = 2 ウ k = −1 エ k = 0）
- 二次方程式 x² − 4x + k = 0 の 1 つの解が 2 + √3 のとき、k の値はどれですか。 （ア k = 7 イ k = 3 ウ k = 1 エ k = −1）
- 二次方程式 x² − 4x − 5 = 0 の 2 つの解を α、β とする。α + 1、β + 1 を解とする二次方程式（x² の係数は 1）はどれですか。 （ア x² − 6x − 4 = 0 イ x² − 2x − 8 = 0 ウ x² − 5x = 0 エ x² − 6x = 0）
二次方程式・判別式・解と係数 ── 解答
基礎
- イ x = −1、4 因数分解：(x − 4)(x + 1) = 0。x = −1、4
- イ x = 3 ± √5 x の係数が偶数なので b′ = −3 の公式：x = −b′ ± √(b′² − c) = 3 ± √5。x = 3 ± √5
- ア 2 個 D = b² − 4ac = 36 + 12 = 48 > 0。2 個
- ウ 2 個 共有点の個数は −2x² − 5x + 3 = 0 の実数解の個数。D = 49 > 0。2 個
- ア b² − 4ac = 0 判別式 D = 0 のとき、解の公式の √ の中が 0 になり解は 1 つ（重解）。
標準
- ウ k = 1 重解を持つのは D = 0。D/4 = 1 − k。k = 1
- イ k > 1 x 軸と共有点を持たないのは D < 0。D/4 = 1 − k。頂点の y 座標 k − 1 の符号で考えても同じ。k > 1
- 8 x² − 4x − 12 = 0 を解くと (x − 6)(x + 2) = 0 より x = −2、6。長さは 6 − (−2) = 8。
- ア k = 3 連立して x² − 2x + 4 − k = 0。接する ⇔ D/4 = 1 − (4 − k) = 0。k = 3
- ウ (3, 10)、(−1, 2) x² + 1 = 2x + 4 → x² − 2x − 3 = 0 → x = 3、−1。y は直線に代入。
- 8 解と係数の関係で α + β = −2、αβ = −2。α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 4 + 4 = 8。
- 0 2 解を α、β とすると (α − β)² = (α + β)² − 4αβ = 4 − 4k。これが 4 なので k = 0。
- イ k ≦ 1 「実数解をもつ」には重解もふくまれるので D ≧ 0。D/4 = 1 − k ≧ 0 より k ≦ 1。
- ア 2 m 道を端に寄せて考えると畑は (20 − x)(30 − x) = 504。x² − 50x + 96 = 0 より x = 2、48。0 < x < 20 なので 2 m。
発展
- ウ a ≦ 1 a = 0 のとき 2x + 1 = 0 は解を持つ。a ≠ 0 のとき D/4 = 1 − a ≧ 0 → a ≦ 1。合わせて a ≦ 1。
- ア k = 1 D/4 = (k + 1)² − (k² + 3) = 2k − 2 = 0 → k = 1。
- ウ k = 1 b′ の公式で x = 2 ± √(4 − k)。√(4 − k) = √3 → k = 1。（代入して (2 + √3)² − 4(2 + √3) + k = 7 + 4√3 − 8 − 4√3 + k = k − 1 = 0 でも可）
- エ x² − 6x = 0 和 (α + 1) + (β + 1) = 6、積 (α + 1)(β + 1) = αβ + (α + β) + 1 = 0。x² − (和)x + (積) = 0 より x² − 6x = 0。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h1-08/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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