数学Ⅰ ／ 二次関数 ／ h1-08
二次方程式・判別式 ── 解の個数とグラフ
この単元でできるようになること
- 因数分解・解の公式で二次方程式が解ける（b が偶数のときの公式も）
- D = b² − 4ac で、実数解の個数が判定できる
- 二次関数のグラフと x 軸の共有点の個数を D で判定できる
- 「異なる 2 つの実数解を持つ」「x 軸に接する」などの条件から、定数の範囲を求められる
- 共有点の x 座標が二次方程式の解であることを使って、交点や切り取る線分の長さが求められる
入試での位置づけ
判別式は共通テストで「グラフが x 軸と接するとき」「異なる 2 点で交わるとき」として毎年のように登場します。数学Ⅱの解と係数の関係（h2-02）・円と直線（h2-05）・微分の極値（h2-12）でも「D の符号」で判断する場面が続くので、ここで「D > 0、D = 0、D < 0 と図の対応」を反射的に出せるようにしておきます。
1. 二次方程式の解き方（復習）
まずここだけ
① 因数分解：(x − α)(x − β) = 0 → x = α、β
x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2、3 2x² + 5x − 3 = 0 → (2x − 1)(x + 3) = 0 → x = 1/2、−3（たすきがけ・h1-02）
② 解の公式：ax² + bx + c = 0 の解は
x = {−b ± √(b² − 4ac)} / 2a
x² + 3x + 1 = 0 → x = (−3 ± √(9 − 4))/2 = (−3 ± √5)/2
③ b が偶数（b = 2b′）のときの公式：
x = {−b′ ± √(b′² − ac)} / a
x² − 4x + 1 = 0 → b′ = −2 → x = 2 ± √(4 − 1) = 2 ± √3 3x² + 6x − 1 = 0 → b′ = 3 → x = (−3 ± √(9 + 3))/3 = (−3 ± 2√3)/3
b が偶数なら約分の手間が省ける。共通テストの計算量を減らす定番の技。
解き方の選び方
- まず因数分解を試す（10 秒で見つからなければ）
- 解の公式（b が偶数なら b′ の公式）
2. 判別式 D ── 実数解の個数
まずここだけ
解の公式の √ の中 D = b² − 4ac を判別式という。√ の中の符号で解の個数が決まる。
| D の符号 | 実数解 | 例 |
|---|---|---|
| D > 0 | 異なる 2 つの実数解 | x² − 3x + 1 = 0（D = 5） |
| D = 0 | 1 つの実数解（重解） | x² − 4x + 4 = 0（D = 0、x = 2） |
| D < 0 | 実数解はない | x² + x + 1 = 0（D = −3） |
b = 2b′ のときは D/4 = b′² − ac で判定してよい（符号は同じ）。
x² − 6x + k = 0 が異なる 2 つの実数解を持つ k の範囲： D/4 = 9 − k > 0 → k < 9 重解を持つ：9 − k = 0 → k = 9（重解は x = 3） 実数解を持たない：9 − k < 0 → k > 9
よくある間違い
- 「実数解を持つ」は D ≧ 0（= も含む）。「異なる 2 つ」は D > 0
- D の計算で c の符号を落とす（x² − 2x − 3 = 0 なら D = 4 − 4・1・(−3) = 16）
- a に文字が入るとき、a ≠ 0 を確認する（a = 0 だと二次方程式でない）
3. グラフと x 軸の共有点
まずここだけ
二次関数 y = ax² + bx + c のグラフと x 軸の共有点の x 座標は、y = 0 とした二次方程式 ax² + bx + c = 0 の実数解。
| D | 共有点 | 図 |
|---|---|---|
| D > 0 | 2 個（2 点で交わる） | ⋃ が x 軸を横切る |
| D = 0 | 1 個（接する） | ⋃ の頂点が x 軸上 |
| D < 0 | 0 個（共有点なし） | ⋃ が x 軸から離れている |
y = x² − 2x + k のグラフが x 軸と接する k：D/4 = 1 − k = 0 → k = 1（接点 (1, 0)） x 軸と共有点を持たない k：1 − k < 0 → k > 1
「接する」= D = 0。頂点の y 座標が 0、と考えても同じ（(x − 1)² + k − 1 の頂点 (1, k − 1) で k − 1 = 0）。
頂点で考える方法
下に凸（a > 0）のとき、
- x 軸と 2 点で交わる ⇔ 頂点の y 座標 < 0
- 接する ⇔ 頂点の y 座標 = 0
- 共有点なし ⇔ 頂点の y 座標 > 0
D と頂点の y 座標（−D/4a）は同じ情報。どちらでも解けるようにしておくと検算になる。
4. 共有点の座標・線分の長さ
ここまでできれば十分
y = x² − 2x − 3 と x 軸の共有点：x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0 → (3, 0)、(−1, 0) x 軸から切り取る線分の長さ：3 − (−1) = 4
y = x² − 4x + 1 と x 軸の共有点：x = 2 ± √3 → 線分の長さ (2 + √3) − (2 − √3) = 2√3
放物線と直線の共有点
連立して y を消去し、二次方程式にする。
y = x² + 1 と y = 2x + 4：x² + 1 = 2x + 4 → x² − 2x − 3 = 0 → x = 3、−1 交点：(3, 10)、(−1, 2) y = x² と y = 2x + k が接する k：x² − 2x − k = 0 の D/4 = 1 + k = 0 → k = −1
5. もう一歩
解の個数と定数の範囲（a に文字）
「ax² + 2x + 1 = 0 が実数解を持つ a の範囲」
- a = 0 のとき：2x + 1 = 0 は解を持つ（一次方程式）✓
- a ≠ 0 のとき：D/4 = 1 − a ≧ 0 → a ≦ 1
- 合わせて a ≦ 1（a = 0 を含む）
「二次方程式」と書かれていなければ a = 0 も考える。
2 つの解の符号（数学Ⅱの解と係数の関係の入口）
x² + bx + c = 0 の 2 解を α、β とすると α + β = −b、αβ = c。 「2 解がともに正」⇔ D ≧ 0 かつ α + β > 0 かつ αβ > 0。h2-02 で扱います。
6. 自己チェック
- 因数分解を先に試したか
- b が偶数なら b′ の公式を使ったか
- 「実数解を持つ」は D ≧ 0、「異なる 2 つ」は D > 0、「接する」は D = 0
- D の計算で符号を落としていないか
- 二次の係数に文字があるとき、0 になる場合を確かめたか
7. 小テストへ
→ 小テスト（h1-08）
関連する単元
- 前提：中3 m3-05 二次方程式、h1-06 二次関数のグラフ
- 次に進む：h1-09 二次不等式
- ここで使う考え方が出てくる：h2-02 複素数と解と係数の関係、h2-05 円と直線、h2-12 極値
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅰ「(3) 二次関数 ア(イ) 二次方程式・二次不等式」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h1-08/ ／ 更新 2026-09-12