三角比（定義・相互関係・90°−θ・180°−θ） ── 問題
基礎
- 3 辺の長さが 5、12、13 の直角三角形で、長さ 5 の辺の向かい側の角を θ とするとき、tan θ の値を求めなさい。 （ア 5/13 イ 5/12 ウ 12/5 エ 12/13）
- cos 45° の値を求めなさい。 （ア 1/2 イ −1/2 ウ √3/2 エ √2/2）
- θ は鋭角で、sin θ = 12/13 のとき、cos θ と tan θ の値を求めなさい。 （ア cos θ = 5/13、tan θ = 5/12 イ cos θ = −5/13、tan θ = −12/5 ウ cos θ = 5/13、tan θ = 12/5 エ cos θ = 12/5、tan θ = 5/13）
- 次の三角比を、45° 以下の角の三角比で表しなさい。 tan 74° （ア tan 16° イ 1 / tan 106° ウ −tan 16° エ 1 / tan 16°）
- 次の三角比を、鋭角の三角比で表しなさい。 tan 165° （ア −tan 75° イ 1 / tan 75° ウ tan 15° エ −tan 15°）
- sin 30° + cos 60° の値はどれですか。 （ア 1 イ √3 ウ 1/2 エ √3/2）
標準
- θ は鈍角で、sin θ = 4/5 のとき、cos θ と tan θ の値を求めなさい。 （ア cos θ = 3/5、tan θ = 4/3 イ cos θ = −3/5、tan θ = 4/3 ウ cos θ = −4/5、tan θ = −3/4 エ cos θ = −3/5、tan θ = −4/3 undefined cos θ = 3/5、tan θ = −4/3）
- θ は鋭角で、tan θ = 6 のとき、cos θ と sin θ の値を求めなさい。 （ア cos θ = 6√37/37、sin θ = √37/37 イ cos θ = 1/37、sin θ = 6/37 ウ cos θ = −√37/37、sin θ = 6√37/37 エ cos θ = √37/37、sin θ = 6√37/37）
- 0° ≦ θ ≦ 180° のとき、cos θ = √3/2 を満たす θ を求めなさい。 （ア θ = 60° イ θ = 30° ウ θ = 135° エ θ = 120° undefined θ = 45°、135°）
- sin²35° + sin²55° の値はどれですか。 （ア 2 イ √3/2 ウ 1/2 エ 1）
- cos 130° + cos 50° の値はどれですか。 （ア 2cos 50° イ 1 ウ −1 エ 0）
- 木の根もとから水平に 80 m 離れた地点で、木の先端を見上げた角（仰角）は 60° だった。目の高さは考えないものとして、木の高さを求めなさい。 （ア 40 m イ 40√3 m ウ 80√3/3 m エ 80√3 m）
- Aさん「sin 150° は sin 30° と同じ値だよね。」 Bさん「そうだね。でも cos は気をつけないと。」 cos 150° について正しいものはどれですか。 （ア cos 150° = √3/2 で、cos 30° と等しい イ cos 150° = −1/2 で、cos 60° と符号が逆 ウ cos 150° = 1/2 で、cos 60° と等しい エ cos 150° = −√3/2 で、cos 30° と符号が逆）
- 道路の標識の「10%」は、水平に 100 m 進むと 10 m 高くなる坂を表す。この坂の傾きの角を θ とするとき、正しいものはどれですか。 （ア cos θ = 0.1 イ sin θ = 0.1 ウ θ = 10° エ tan θ = 0.1）
発展
- 0° ≦ θ ≦ 180° で sin θ + cos θ = 1/2 のとき、sin θ cos θ の値はどれですか。 （ア −3/8 イ 1/8 ウ 3/8 エ −1/4）
- 0° ≦ θ ≦ 180° で 2sin θ − 1 = 0 を満たす θ をすべて求めたものはどれですか。 （ア θ = 150° イ θ = 60°、120° ウ θ = 30°、150° エ θ = 30°）
- tan θ = −2（θ は鈍角）のとき、sin θ の値はどれですか。 （ア −2√5/5 イ −√5/5 ウ 2√5/5 エ √5/5）
- 次の三角比の表を使う。 θ｜sin θ｜cos θ｜tan θ 30°｜0.5000｜0.8660｜0.5774 31°｜0.5150｜0.8572｜0.6009 36°｜0.5878｜0.8090｜0.7265 37°｜0.6018｜0.7986｜0.7536 水平方向に 50 m 進むと 30 m 高くなる坂の傾きの角に最も近いものはどれですか。 （ア 約 36° イ 約 31° ウ 約 30° エ 約 37°）
三角比（定義・相互関係・90°−θ・180°−θ） ── 解答
基礎
- イ 5/12 斜辺は最も長い 13、θ の対辺は 5、隣辺は 12。tan θ = 対辺 / 隣辺 = 5/12。
- エ √2/2 cos 45° は三角定規の値。√2/2
- ウ cos θ = 5/13、tan θ = 12/5 cos²θ = 1 − sin²θ = 25/169。鋭角なので cos θ は正。tan θ = sin θ / cos θ。cos θ = 5/13、tan θ = 12/5
- エ 1 / tan 16° 90° − θ の公式：sin と cos が入れかわり、tan は逆数。74° = 90° − 16° なので 1 / tan 16°。
- エ −tan 15° 180° − θ の公式：sin はそのまま、cos と tan は符号が変わる。165° = 180° − 15° なので −tan 15°。
- ア 1 1/2 + 1/2 = 1。
標準
- エ cos θ = −3/5、tan θ = −4/3 cos²θ = 1 − sin²θ。鈍角なので cos θ < 0、tan θ < 0。cos θ = −3/5、tan θ = −4/3
- エ cos θ = √37/37、sin θ = 6√37/37 1 + tan²θ = 1/cos²θ より 1/cos²θ = 37、cos²θ = 1/37。鋭角なので cos θ > 0。sin θ = tan θ × cos θ。cos θ = √37/37、sin θ = 6√37/37
- イ θ = 30° 単位円で考える。sin の値からは θ と 180° − θ の 2 つ、cos・tan は 1 つに決まる。θ = 30°
- エ 1 sin 55° = cos 35° なので sin²35° + cos²35° = 1。
- エ 0 cos 130° = −cos 50°。
- エ 80√3 m 高さ = 80 × tan 60° = 80√3（m）。sin や cos を使うと斜めの距離との関係になってしまう。
- エ cos 150° = −√3/2 で、cos 30° と符号が逆 cos(180° − θ) = −cos θ。cos 150° = −cos 30° = −√3/2。sin(180° − θ) = sin θ と混同しやすい。
- エ tan θ = 0.1 水平に進んだ距離に対する高さの比なので tan θ = 10/100。坂に沿って進んだ距離が 100 m なら sin になる。
発展
- ア −3/8 両辺 2 乗：1 + 2 sin θ cos θ = 1/4 → sin θ cos θ = −3/8。
- ウ θ = 30°、150° sin θ = 1/2。単位円で y = 1/2 となる角は 30° と 150°。
- ウ 2√5/5 1/cos²θ = 1 + 4 = 5、cos θ = −1/√5（鈍角で負）。sin θ = tan θ × cos θ = (−2)(−1/√5) = 2/√5 = 2√5/5（正）。
- イ 約 31° 水平の距離と高さなので tan θ = 30/50 = 0.6。表で tan が 0.6 に最も近いのは 31°。sin θ = 0.6 として 37° を選ぶのは「坂に沿って 50 m」のとき。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h1-10/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
📄 紙で解くなら プリント（レベルと問題数を選べます）。このページをそのまま印刷しても各レベル 10 問と解答が出ます。