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小テスト ／ h1-11

正弦定理・余弦定理

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正弦定理・余弦定理 ── 問題

基礎

  1. 三角形 ABC で、b = 1、c = 6、A = 90° のとき、a の値を求めなさい。　（ア √43　イ √37　ウ √31）
  2. 三角形 ABC で、a = 6、b = 6、c = 3 のとき、cos A の値を求めなさい。　（ア 1/2　イ 7/8　ウ 1/4　エ −1/4）
  3. 三角形 ABC で、a = 1、A = 120° のとき、外接円の半径 R を求めなさい。　（ア √3/4　イ 2√3/3　ウ √3/3　エ 1/4）
  4. 三角形 ABC で、a = 8、A = 30°、B = 90° のとき、b の値を求めなさい。　（ア 16　イ 8　ウ 4　エ 17）
  5. 三角形の 2 辺とその間の角がわかっているとき、残りの辺を求めるのに使う定理はどれですか。　（ア 中点連結定理　イ 余弦定理　ウ 正弦定理　エ 三平方の定理）

標準

  1. 三角形 ABC で、a = 5、b = 2、c = 4 のとき、A は鋭角・直角・鈍角のどれですか。　（ア 直角　イ 鈍角　ウ 鋭角）
  2. 三角形 ABC で、a = 1、b = 1、c = 1 のとき、A の大きさを求めなさい。　（ア 120°　イ 90°　ウ 60°　エ 150°）
  3. 三角形 ABC で a = 2、b = √6、A = 45° のとき、B の値はどれですか。　（ア B = 60° または 120°　イ B = 30° または 150°　ウ B = 60°　エ B = 120°）
  4. AB = 3、AC = 5、∠A = 120° の三角形 ABC で、BC の長さと外接円の半径 R の組み合わせはどれですか。　（ア BC = 7、R = 7√3/3　イ BC = 7、R = 7/√3 × 2　ウ BC = 4、R = 4√3/3　エ BC = √19、R = √19/√3）
  5. 三角形 ABC で、b = 2、c = 3、A = 60° のとき、a の値はどれですか。　（ア √19　イ √7　ウ √13　エ 5）
  6. 図の △ABC で、辺 BC の長さ a を求めなさい。　（ア √37　イ √31　ウ √13　エ 6　undefined 5）
  7. 川をはさんだ地点 C までの距離を測るため、川岸に AB = 30 m となる 2 地点 A、B をとったところ、∠CAB = 30°、∠CBA = 120° だった。AC の長さを求めなさい。　（ア 60√3 m　イ 30√3 m　ウ 30 m　エ 10√3 m）
  8. △ABC で、BC = 10、CA = 6、AB = 8 とする。辺 BC の中点を M とするとき、中線 AM の長さを求めなさい。
  9. △ABC で a = 2、b = 2√3、A = 30° のとき B を求める。 Aさん「正弦定理で sin B = √3/2 になったから、B = 60° だね。」 Bさん「0° < B < 180° だから、もう 1 つ考えられるよ。」 B の値として正しいものはどれですか。　（ア B = 30° または 150°　イ B = 60° のみ　ウ B = 60° または 120°　エ B = 120° のみ）

発展

  1. 三角形 ABC で、a = 2、b = 3、C = 60° のとき、外接円の半径 R はどれですか。　（ア √7/2　イ √21/3　ウ √7　エ 7/3）
  2. 三角形 ABC で、sin A : sin B : sin C = 3 : 5 : 7 のとき、最大の角の大きさはどれですか。　（ア 120°　イ 90°　ウ 150°　エ 60°）
  3. 三角形 ABC で、a = √3、b = 1、B = 30° のとき、A の値はどれですか。　（ア A = 120°　イ A = 60°　ウ A = 60° または 120°　エ A = 30° または 150°）
  4. △ABC で a cos A = b cos B が成り立つ。 Aさん「余弦定理で cos A、cos B を辺で表して代入しよう。」 Bさん「整理すると (a² − b²)(a² + b² − c²) = 0 になったよ。」 この三角形の形として正しいものはどれですか。　（ア b = c の二等辺三角形か、A = 90° の直角三角形　イ a = b の二等辺三角形か、C = 90° の直角三角形　ウ どんな三角形でも成り立つ（形は決まらない）　エ a = b で、しかも C = 90° の直角二等辺三角形だけ）

正弦定理・余弦定理 ── 解答

基礎

  1. イ　√37　2 辺と間の角 → 余弦定理。a² = 1² + 6² − 2・1・6・cos 90° = 37 − 12・(0)。a = √37。
  2. ウ　1/4　3 辺から角 → 余弦定理を cos の形に。cos A = (b² + c² − a²) / 2bc = 9/36 = 1/4。
  3. ウ　√3/3　正弦定理 a / sin A = 2R。2R = 1 / sin 120° = 1 / (√3/2)。R = √3/3。
  4. ア　16　1 辺と 2 角 → 正弦定理。a / sin A = b / sin B より b = a sin B / sin A。16
  5. イ　余弦定理　「間の角」なら余弦定理。「向かいの角」なら正弦定理。

標準

  1. イ　鈍角　cos A の符号 = (b² + c² − a²) の符号。a² = 25、b² + c² = 20。鈍角。
  2. ウ　60°　cos A = (b² + c² − a²) / 2bc = 1/2。60°
  3. ア　B = 60° または 120°　正弦定理より sin B = √6 sin 45° / 2 = √3/2。B = 60°、120° のどちらも A + B < 180° を満たす。
  4. ア　BC = 7、R = 7√3/3　余弦定理：BC² = 9 + 25 + 15 = 49 → 7。正弦定理：2R = 7 / sin 120° = 14/√3 → R = 7√3/3。
  5. イ　√7　a² = 4 + 9 − 2・2・3・(1/2) = 7。
  6. ア　√37　余弦定理 a² = b² + c² − 2bc cos A = 3² + 4² − 2·3·4·cos 120° = 37。a = √37。
  7. イ　30√3 m　∠ACB = 180° − 30° − 120° = 30°。正弦定理 AC/sin B = AB/sin C より AC = 30 × sin 120° ÷ sin 30° = 30√3（m）。
  8. 5　△ABC で余弦定理より cos B = (a² + c² − b²)/(2ac) = 4/5。△ABM で BM = 5 として余弦定理を使うと AM² = AB² + BM² − 2・AB・BM・cos B = 25。AM = 5。
  9. ウ　B = 60° または 120°　sin B = √3/2 を満たすのは 60° と 120°。A + B が 180° 未満かを確かめると、30° + 120° = 150° でも三角形ができるので両方とも答え。

発展

  1. イ　√21/3　余弦定理：c² = 4 + 9 − 6 = 7、c = √7。正弦定理：2R = √7 / sin 60° = 2√7/√3 → R = √7/√3 = √21/3。
  2. ア　120°　正弦定理より a : b : c = 3 : 5 : 7。最大辺 c の向かいの角：cos C = (9 + 25 − 49)/30 = −1/2 → C = 120°。
  3. ウ　A = 60° または 120°　sin A = √3 sin 30° / 1 = √3/2 → A = 60°、120°。どちらも A + B < 180° を満たす。
  4. イ　a = b の二等辺三角形か、C = 90° の直角三角形　積が 0 なので a² = b² または c² = a² + b²。「または」なので、どちらか一方を満たせばよい（両方を同時に満たす必要はない）。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h1-11/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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