数学Ⅰ ／ 図形と計量 ／ h1-11

更新 2026-09-12

正弦定理・余弦定理 ── 三角形の辺と角を求める

この単元でできるようになること

• 正弦定理 a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R で、辺・角・外接円の半径が求められる
• 余弦定理 a² = b² + c² − 2bc cos A で、2 辺と間の角から残りの辺、3 辺から角が求められる
• 「どちらの定理を使うか」を、わかっている情報から選べる
• 3 辺から三角形の角が鋭角・直角・鈍角のどれか判定できる
• 「a = 2、b = √6、A = 45°」のような、解が 2 つ出る場合を処理できる

入試での位置づけ

共通テスト数学Ⅰ「図形と計量」の大問は、余弦定理で辺 → 正弦定理で外接円の半径 → 面積（h1-12）の流れが定番です。「三角形の 3 辺が与えられて cos A を出す」は毎年のように出ます。数学Ⅱの図形と方程式・数学C のベクトルでも同じ計算が現れます。

1. 記号の約束

三角形 ABC で、角 A の向かいの辺を a、B の向かいを b、C の向かいを c と書く。外接円（3 頂点を通る円）の半径を R と書く。

2. 正弦定理

まずここだけ

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

「辺 ÷ 向かいの角の sin」はどの組でも等しく、外接円の直径 2R に等しい。

使いどころ：

• 1 辺と 2 角がわかっている → 他の辺
• 2 辺と、その一方の向かいの角 → もう一方の向かいの角
• 外接円の半径 R を求める・使う

例 1：a = 4、A = 30°、B = 45° のとき b 4 / sin 30° = b / sin 45° → 4 / (1/2) = b / (√2/2) → 8 = 2b/√2 → b = 4√2

例 2：a = 6、A = 60° の三角形の外接円の半径 2R = 6 / sin 60° = 6 / (√3/2) = 12/√3 = 4√3 → R = 2√3

例 3：a = 2、b = √6、A = 45° のとき B 2 / sin 45° = √6 / sin B → sin B = √6 × (√2/2) / 2 = √12/4 = √3/2 → B = 60° または 120° どちらも A + B < 180° なので両方が解（三角形が 2 通りある）

sin から角を出すと 2 つ出る（h1-10）。A + B < 180° を満たすか確かめて、両方残るなら両方答える。

3. 余弦定理

まずここだけ

a² = b² + c² − 2bc cos A b² = c² + a² − 2ca cos B c² = a² + b² − 2ab cos C

「求めたい辺の 2 乗 ＝ 他の 2 辺の 2 乗の和 − 2 × 他の 2 辺 × はさむ角の cos」。cos A = 0（A = 90°）なら三平方の定理になる。

使いどころ：

• 2 辺とその間の角 → 残りの辺
• 3 辺 → 角（cos の形に変形して）

例 4：b = 3、c = 5、A = 60° のとき a a² = 9 + 25 − 2・3・5・(1/2) = 34 − 15 = 19 → a = √19

例 5：a = 7、b = 5、c = 3 のとき A cos A = (b² + c² − a²) / 2bc = (25 + 9 − 49) / 30 = −15/30 = −1/2 → A = 120°

角を求める形

cos A = (b² + c² − a²) / 2bc（分子は「A の向かいの辺だけ引く」）

角の種類の判定

cos A の符号で決まる（a が最大辺のとき）：

3 辺が 4、5、6 の三角形：最大辺 6 の向かいの角は 36 < 16 + 25 = 41 → 鋭角三角形 3 辺が 3、5、7：49 > 9 + 25 = 34 → 鈍角三角形

4. どちらを使うか

ここまでできれば十分

「間の角」なら余弦、「向かいの角」なら正弦。迷ったら、式を書いてみて未知数が 1 つだけになるほうを選ぶ。

典型の流れ（共通テスト型）

AB = 3、AC = 5、∠A = 120° の三角形 ABC で、BC と外接円の半径 R ① 余弦定理：BC² = 9 + 25 − 2・3・5・cos 120° = 34 + 15 = 49 → BC = 7 ② 正弦定理：2R = 7 / sin 120° = 7 / (√3/2) = 14/√3 → R = 7√3/3

5. よくある間違い

• 余弦定理の −2bc cos A で、cos が負のときの符号処理（− × − = +）
• 正弦定理で sin から角を出して、120° のほうを落とす（または、A + B ≧ 180° になる不適な解を残す）
• 「向かいの辺」を取りちがえる（角 A の向かいは辺 a = BC）
• 2R と R を混同する

6. 自己チェック

1. 向かいの辺・間の角を図で確認したか
2. 「間の角」→ 余弦、「向かいの角」→ 正弦
3. cos A = (b² + c² − a²) / 2bc の分子で引くのは a² だけ
4. sin から角を出したら 2 つ検討したか
5. R を聞かれたら 2R で割り忘れていないか

7. 小テストへ

→ 小テスト（h1-11）

関連する単元

• 前提：h1-10 三角比、中3 m3-13 三平方の定理
• 次に進む：h1-12 図形の計量（面積・内接円・空間図形）
• ここで使う考え方が出てくる：hc-01 ベクトルの内積、h2-08 加法定理

参考資料

• 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅰ「(2) 図形と計量 ア(イ) 正弦定理，余弦定理」

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h1-11/ ／ 更新 2026-09-12

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