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小テスト ／ h1-12

図形の計量（面積・内接円・空間図形）

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図形の計量（面積・内接円・空間図形） ── 問題

基礎

  1. 三角形 ABC で、b = 2、c = 6、A = 45° のとき、面積 S を求めなさい。　（ア 3√2/2　イ 6√2　ウ 6　エ 3√2）
  2. 三角形 ABC で、a = 7、b = 5、c = 8 のとき、面積 S を求めなさい。　（ア 20√3　イ 10√3　ウ 10　エ 20）
  3. 三角形 ABC で、a = 3、b = 4、c = 5、面積 S = 6 のとき、内接円の半径 r を求めなさい。　（ア 1　イ 2　ウ 1/2）
  4. 三角形の面積を S、3 辺を a、b、c、内接円の半径を r とするとき、成り立つ式はどれですか。　（ア S = 2r (a + b + c)　イ S = r (a + b + c)　ウ S = (1/2) r (a + b + c)　エ S = (1/2) r abc）
  5. b = 4、c = 5、A = 60° の三角形の面積はどれですか。　（ア 10　イ 5　ウ 5√3　エ 10√3）

標準

  1. AB = 8、BC = 13、CA = 7 の三角形 ABC について、A の大きさ、面積 S、内接円の半径 r、外接円の半径 R をこの順に求めなさい。　（ア A = 120°、S = 28√3、r = 2√3、R = 26√3/3　イ A = 120°、S = 14√3、r = √3、R = 13√3/3　ウ A = 120°、S = 14√3、r = 13√3/3、R = √3　エ A = 60°、S = 14√3、r = √3、R = 13√3/3）
  2. 円に内接する四角形 ABCD で AB = 2、BC = 3、CD = 3、DA = 4 のとき、cos A の値はどれですか。　（ア 1/17　イ −1/17　ウ 2/17　エ 1/8）
  3. 1 辺の長さが 2 の正四面体の高さはどれですか。　（ア 2√6/3　イ √6　ウ 2√3/3　エ √3）
  4. 隣り合う 2 辺が 4 と 6 で、その間の角が 30° の平行四辺形の面積はどれですか。　（ア 12√3　イ 24　ウ 12　エ 6）
  5. 三角形 ABC の面積が 6、a = 3、b = 4、c = 5 のとき、内接円の半径はどれですか。　（ア 1/2　イ 2　ウ 3/2　エ 1）
  6. 図の △ABC の面積 S を求めなさい。　（ア 10　イ 20　ウ 20√3　エ 10√3）
  7. 図の △ABC は ∠C = 90° の直角三角形で、BC = 9、CA = 12、AB = 15 です。この三角形の内接円の半径 r を求めなさい。
  8. 底面が 1 辺 2 の正方形で、側面の 4 本の辺（側辺）の長さがすべて 5 の正四角錐がある。この正四角錐の高さを求めなさい。　（ア √23　イ √21　ウ 3√3　エ 2√6）
  9. 円に内接する四角形 ABCD で、AB = 3、BC = 5、CD = 3、DA = 8、∠B = 120° である。 Aさん「対角線 AC で 2 つの三角形に分けて面積を足そう。」 Bさん「∠D は ∠B から分かるね。」 四角形 ABCD の面積として正しいものはどれですか。　（ア 39/4　イ 15√3/4　ウ 39√3/2　エ 39√3/4）

発展

  1. 1 辺の長さが 2 の正四面体の体積はどれですか。　（ア 2√2/3　イ √2/3　ウ 4√2/3　エ 2√3/3）
  2. AB = 3、AC = 4、∠A = 60° の三角形 ABC で、∠A の二等分線が BC と交わる点を D とするとき、AD の長さはどれですか。　（ア 6√3/7　イ 2√3　ウ 12√3/7　エ √13）
  3. 縦 1、横 2、高さ 2 の直方体の対角線と底面のなす角を θ とするとき、tan θ の値はどれですか。　（ア 1/√5　イ √5/2　ウ 2/3　エ 2/√5）
  4. △ABC で AB = 5、AC = 3、∠A = 120° とする。∠A の二等分線と辺 BC の交点を D とするとき、AD の長さを求めなさい。

図形の計量（面積・内接円・空間図形） ── 解答

基礎

  1. エ　3√2　S = (1/2) bc sin A = (1/2)・2・6・sin 45° = (1/2)・2・6・(√2/2) = 3√2。
  2. イ　10√3　余弦定理で cos A = 1/2、sin A = √(1 − cos²A) = √3/2。S = (1/2)・5・8・sin A = 10√3。
  3. ア　1　S = (1/2) r (a + b + c) より r = 2S / (a + b + c) = 2・6 / 12 = 1。
  4. ウ　S = (1/2) r (a + b + c)　内心と 3 頂点を結んで 3 つの三角形に分けると、それぞれの高さが r。
  5. ウ　5√3　(1/2)・4・5・sin 60° = 10・(√3/2) = 5√3。

標準

  1. イ　A = 120°、S = 14√3、r = √3、R = 13√3/3　① 余弦定理で cos A ② S = (1/2)・AB・CA・sin A ③ r = 2S/(a + b + c) ④ 2R = BC / sin A。A = 120°、S = 14√3、r = √3、R = 13√3/3
  2. ア　1/17　BD² = 20 − 16 cos A = 18 + 18 cos A（∠C = 180° − ∠A で cos C = −cos A）→ cos A = 1/17。
  3. ア　2√6/3　垂線の足は底面の重心。BH = 2√3/3、AH = √(4 − 4/3) = 2√6/3。
  4. ウ　12　平行四辺形の面積 = ab sin θ = 4・6・(1/2) = 12。
  5. エ　1　r = 2S/(a + b + c) = 12/12 = 1。
  6. エ　10√3　S = (1/2) bc sin A = (1/2)·5·8·sin 60° = (1/2)·5·8·(√3/2) = 10√3。
  7. 3　面積 S = (1/2)·9·12 = 54。S = (1/2) r (a + b + c) より r = 2S/(a + b + c) = 108/36 = 3。
  8. ア　√23　頂点から底面に下ろした垂線の足は正方形の対角線の交点で、底面の頂点までの距離は対角線の半分 √2。高さ = √(5² − 2 × 1²) = √23。
  9. エ　39√3/4　円に内接するので ∠D = 180° − 120° = 60°。△ABC = (1/2)・3・5・sin 120° = 15√3/4、△ACD = (1/2)・3・8・sin 60° = 6√3。合計 39√3/4。（AC² = 49 は どちらの三角形からも出て、数値が合っていることが確かめられる）

発展

  1. ア　2√2/3　底面積 √3、高さ 2√6/3。V = (1/3)・√3・(2√6/3) = 2√18/9 = 2√2/3。
  2. ウ　12√3/7　面積で：△ABD + △ACD = △ABC → (1/2)・3・AD・sin 30° + (1/2)・4・AD・sin 30° = (1/2)・3・4・sin 60° → (7/4) AD = 3√3 → AD = 12√3/7。
  3. エ　2/√5　底面の対角線 √(1 + 4) = √5。tan θ = 高さ / 底面の対角線 = 2/√5。
  4. 15/8　△ABC = △ABD + △ACD を面積で表す。(1/2)・5・3・sin 120° = (1/2)・5・AD・sin 60° + (1/2)・3・AD・sin 60°。sin 120° = sin 60° なので 15 = 8 × AD、AD = 15/8。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h1-12/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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