数学Ⅰ ／ 図形と計量 ／ h1-12
図形の計量 ── 面積・内接円・空間図形
この単元でできるようになること
- 三角形の面積 S = (1/2) bc sin A が使える
- 3 辺から面積を求められる（余弦定理 → sin → 面積、またはヘロンの公式）
- 内接円の半径 r を S = (1/2) r (a + b + c) で求められる
- 四角形の面積（対角線で 2 つの三角形に分ける、円に内接する四角形）が求められる
- 空間図形で、断面の三角形を取り出して正弦・余弦定理を使える
入試での位置づけ
共通テスト数学Ⅰの「図形と計量」は、余弦定理 → 正弦定理 → 面積 → 内接円の半径とつながる大問が定番で、この単元がその終点です。円に内接する四角形（対角の和 180°）や、直方体・四面体の断面も頻出。「図をかいて、使う三角形を取り出す」ことが解法の 8 割です。
1. 三角形の面積
まずここだけ
S = (1/2) bc sin A = (1/2) ca sin B = (1/2) ab sin C
「2 辺と間の角の sin」。高さ = c sin A だから、底辺 × 高さ ÷ 2 と同じ。
b = 4、c = 5、A = 60°：S = (1/2)・4・5・(√3/2) = 5√3 b = 3、c = 4、A = 120°：S = (1/2)・3・4・(√3/2) = 3√3（sin 120° = sin 60° で正）
3 辺から面積
手順：① 余弦定理で cos A ② sin A = √(1 − cos²A) ③ 面積
a = 7、b = 5、c = 3：cos A = (25 + 9 − 49)/30 = −1/2 → sin A = √3/2 → S = (1/2)・5・3・(√3/2) = 15√3/4
ヘロンの公式（発展・検算用）：s = (a + b + c)/2 として S = √{s(s − a)(s − b)(s − c)}
a = 7、b = 5、c = 3：s = 15/2 → S = √{(15/2)(1/2)(5/2)(9/2)} = √(675/16) = 15√3/4 ✓
2. 内接円の半径
まずここだけ
内接円（3 辺に接する円）の中心 I と各頂点を結ぶと、三角形が 3 つに分かれ、それぞれの高さが r。
S = (1/2) r (a + b + c) → r = 2S / (a + b + c)
a = 7、b = 5、c = 3、S = 15√3/4：r = 2・(15√3/4) / 15 = √3/2
外接円と内接円の使い分け
| 求め方 | |
|---|---|
| 外接円の半径 R | 正弦定理 a / sin A = 2R |
| 内接円の半径 r | 面積 S = (1/2) r (a + b + c) |
3. 四角形の面積
ここまでできれば十分
対角線で 2 つの三角形に分ける。
AB = 3、BC = 4、∠B = 60°、CD = 2、DA = √13、∠D = 120° の四角形 ABCD 対角線 AC：余弦定理で AC² = 9 + 16 − 12 = 13 → AC = √13 S = △ABC + △ACD = (1/2)・3・4・sin 60° + (1/2)・2・√13・sin 120° …（それぞれ計算して足す）
円に内接する四角形
対角の和が 180°：∠A + ∠C = 180° → cos C = −cos A、sin C = sin A。
円に内接する四角形 ABCD で AB = 2、BC = 3、CD = 3、DA = 4 のとき cos A BD² を 2 通りで：△ABD：BD² = 4 + 16 − 16 cos A、△CBD：BD² = 9 + 9 − 18 cos C = 18 + 18 cos A 20 − 16 cos A = 18 + 18 cos A → cos A = 1/17
同じ対角線を 2 つの三角形で表して等しいとおくのが定番。
平行四辺形・ひし形
平行四辺形の面積 = ab sin θ（隣り合う 2 辺と間の角）。
4. 空間図形
ここまでできれば十分
空間図形の問題は、平面（断面）の三角形を取り出して平面図形の問題にする。
1 辺 2 の正四面体 ABCD の高さと体積 頂点 A から底面 BCD に下ろした垂線の足 H は、正三角形 BCD の重心。 BH = 外接円の半径 = (2/3) × 中線 = (2/3) × √3 = 2√3/3 高さ AH = √(AB² − BH²) = √(4 − 4/3) = √(8/3) = 2√6/3 体積 V = (1/3) × △BCD × AH = (1/3) × √3 × (2√6/3) = 2√2/3
直方体の対角線と辺のなす角 縦 a、横 b、高さ c の直方体で、対角線の長さは √(a² + b² + c²)。対角線と底面のなす角 θ は tan θ = c / √(a² + b²)
コツ
- 直角三角形を探す（垂線・対角線）→ 三平方の定理
- 正三角形・二等辺三角形の断面を探す → 高さ・中線
- 体積は「底面積 × 高さ ÷ 3」（すい）。高さを求めるために断面の三角形を取り出す
5. 典型の流れ（共通テスト型）
もう一歩
AB = 5、BC = 7、CA = 8 の三角形 ABC ① cos A = (25 + 64 − 49)/80 = 1/2 → A = 60° ② sin A = √3/2 → S = (1/2)・5・8・(√3/2) = 10√3 ③ r = 2S/(a + b + c) = 20√3/20 = √3 ④ 2R = 7 / sin 60° → R = 7√3/3
この 4 段を 3 分で通せれば、図形と計量の大問の前半は完成です。
6. 自己チェック
- 面積は「2 辺と間の角」の sin か
- 3 辺なら cos → sin → S の順
- r は S = (1/2) r (a + b + c)、R は正弦定理
- 四角形は対角線で分けたか。円に内接なら対角の和 180°
- 空間図形は断面の三角形を取り出したか
7. 小テストへ
→ 小テスト（h1-12）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅰ「(2) 図形と計量 ア(イ) 正弦定理，余弦定理（図形の計量）」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h1-12/ ／ 更新 2026-09-12