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小テスト ／ h1-13

代表値・四分位数・箱ひげ図・分散・標準偏差

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代表値・四分位数・箱ひげ図・分散・標準偏差 ── 問題

基礎

  1. 次の 5 個のデータの平均値を求めなさい。 12、20、9、16、17
  2. 次の 6 個のデータの中央値を求めなさい。 8、15、19、10、13、17
  3. 次の 8 個のデータの第 1 四分位数 Q₁・中央値・第 3 四分位数 Q₃ を求めなさい。 20、7、18、9、14、15、12、5　（ア Q₁ = 9、中央値 = 13、Q₃ = 18　イ Q₁ = 8、中央値 = 13、Q₃ = 16.5　ウ Q₁ = 7、中央値 = 12、Q₃ = 15　エ Q₁ = 6、中央値 = 13、Q₃ = 19）
  4. 次の 4 個のデータの分散を求めなさい。 10、6、7、9
  5. あるデータの平均値が 47、標準偏差が 4 である。すべてのデータに 4 を足したとき、平均値と標準偏差はそれぞれいくらになりますか。　（ア 平均 47、標準偏差 8　イ 平均 51、標準偏差 8　ウ 平均 51、標準偏差 4）
  6. 箱ひげ図から読み取れないものはどれですか。　（ア 四分位範囲　イ 中央値　ウ 最大値と最小値　エ 平均値）

標準

  1. 次の 5 個のデータの分散を求めなさい。 4、6、6、3、1
  2. あるデータの平均値が 27、分散が 5 である。すべてのデータを 4 倍したとき、平均値と分散はそれぞれいくらになりますか。　（ア 平均 108、分散 20　イ 平均 108、分散 80　ウ 平均 27、分散 80　エ 平均 108、分散 5）
  3. あるデータの第 1 四分位数が 30、第 3 四分位数が 34 である。外れ値の基準（Q₁ − 1.5 × 四分位範囲 未満、または Q₃ + 1.5 × 四分位範囲 より大きい）で、外れ値とみなされる値の範囲はどれですか。　（ア 30 未満、または 34 より大きい値　イ 26 未満、または 38 より大きい値　ウ 24 未満、または 36 より大きい値　エ 24 未満、または 40 より大きい値）
  4. データ 2, 4, 6, 8 の標準偏差はどれですか。　（ア √5　イ √20　ウ 20　エ 5）
  5. データ 2, 3, 3, 5, 12 について、12 を 100 に変えたとき、変わらないものはどれですか。　（ア 範囲　イ 中央値　ウ 分散　エ 平均値）
  6. 次の度数分布表から、得点の平均値を求めなさい。（各階級の値は階級値で代表させる） 階級（点）｜度数（人） 0 以上 20 未満｜3 20 以上 40 未満｜2 40 以上 60 未満｜4 60 以上 80 未満｜4 80 以上 100 未満｜2
  7. A 組・B 組（各 40 人）の同じテストの結果をまとめた。 組｜最小値｜第 1 四分位数｜中央値｜第 3 四分位数｜最大値 A 組｜32｜48｜57｜66｜88 B 組｜40｜52｜60｜64｜79 この表から必ず正しいと言えるものはどれですか。　（ア 平均点は B 組の方が高い　イ 60 点以上の生徒は A 組の方が多い　ウ 四分位範囲は B 組の方が小さい　エ 範囲は A 組が B 組の 2 倍以上）

発展

  1. 40 人のクラスのテストで、平均 60 点、標準偏差 8 点だった。得点を「(得点 − 60) ÷ 8 × 10 + 50」で変換した値の平均と標準偏差はどれですか。　（ア 平均 60、標準偏差 8　イ 平均 0、標準偏差 10　ウ 平均 50、標準偏差 8　エ 平均 50、標準偏差 10）
  2. 箱ひげ図について正しい記述はどれですか。　（ア 箱の長さが長いほど、データ全体の範囲が大きい　イ ひげの長さは、そのまま四分位範囲を表している　ウ 箱の中の線は、データの平均値を表している　エ 第 3 四分位数以上のデータは約 25% ある）
  3. 5 個のデータ x₁〜x₅ の平均が 4、x² の平均が 20 のとき、分散はどれですか。　（ア 2　イ 4　ウ 16　エ 20）
  4. A 組 40 人のテストの平均点は 55 点・分散は 17、B 組 10 人の平均点は 61 点・分散は 10 だった。2 つの組を合わせた 50 人の得点の分散を求めなさい。
  5. 10 人の得点の平均は 60 点、分散は 40 と計算した。 Aさん「1 人分を、本当は 50 点なのに 70 点と記録していた。」 Bさん「正しい値に直すと、平均も分散も変わるね。2 乗の平均を使えば計算できるよ。」 正しく直したあとの平均と分散の組み合わせはどれですか。　（ア 平均 58、分散 36　イ 平均 58、分散 76　ウ 平均 58、分散 40　エ 平均 60、分散 36）

代表値・四分位数・箱ひげ図・分散・標準偏差 ── 解答

基礎

  1. 14.8　合計 74 ÷ 5 = 14.8。
  2. 14　小さい順に並べて、3 番目 13 と 4 番目 15 の平均 = 14。
  3. イ　Q₁ = 8、中央値 = 13、Q₃ = 16.5　並べて前半 4 個・後半 4 個に分ける。Q₁ は前半の中央（2・3 番目の平均）、Q₃ は後半の中央（6・7 番目の平均）。Q₁ = 8、中央値 = 13、Q₃ = 16.5
  4. 2.5　平均 8。偏差 2、−2、−1、1、偏差の 2 乗 4、4、1、1。分散 = 2 乗の合計 10 ÷ 4 = 2.5。
  5. ウ　平均 51、標準偏差 4　全部に同じ数を足すと平均はその分ずれ、散らばり（標準偏差）は変わらない。平均 51、標準偏差 4
  6. エ　平均値　箱ひげ図は最小・Q₁・中央値・Q₃・最大を表す。平均値は別に印がないと読めない。

標準

  1. 3.6　平均 4。偏差の 2 乗の合計は 18。分散 = 18 ÷ 5 = 3.6。（x² の平均 − 平均² でも同じ）
  2. イ　平均 108、分散 80　a 倍すると平均は a 倍、分散は a² = 16 倍（標準偏差は a 倍）。平均 108、分散 80
  3. エ　24 未満、または 40 より大きい値　四分位範囲 = 34 − 30 = 4。1.5 倍は 6。24 未満、または 40 より大きい値
  4. ア　√5　平均 5、偏差の 2 乗 9, 1, 1, 9 の平均 5 が分散。標準偏差は √5。
  5. イ　中央値　中央値は真ん中の値 3 のまま。平均・範囲・分散は大きくなる。
  6. 50　階級値は 10・30・50・70・90。（階級値 × 度数）の合計 750 を人数 15 で割って 50 点。
  7. ウ　四分位範囲は B 組の方が小さい　四分位範囲は A 組 18、B 組 12。平均点はこの表からは分からない。60 点以上は A 組が 20 人以下・B 組が 20 人以上。範囲は 56 と 39。

発展

  1. エ　平均 50、標準偏差 10　y = (10/8)x − 75 + 50。平均は (10/8)・60 − 25 = 50、標準偏差は (10/8)・8 = 10。（いわゆる偏差値）
  2. エ　第 3 四分位数以上のデータは約 25% ある　Q₃ 以上は約 25%（データの個数が 4 の倍数なら 25% 以上）。範囲はひげの端で決まり、箱の線は中央値。
  3. イ　4　分散 = x² の平均 − 平均² = 20 − 16 = 4。
  4. 21.36　各組で（2 乗の平均）＝ 分散 ＋ 平均²。A 組は 3042、B 組は 3731。全体の 2 乗の平均 3179.8 から全体の平均 56.2 の 2 乗を引いて 21.36。
  5. ア　平均 58、分散 36　平均は 60 − 20/10 = 58。2 乗の合計はもとが 10 × (40 + 60²) = 36400、直すと 36400 − 70² + 50² = 34000。分散 = 3400 − 58² = 36。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h1-13/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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